1. Expanda \left(3+2 x+x^{2}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para expandir o polinômio \bigl(3 + 2x + x^2\bigr)^{4}. O conteúdo é expansão de potência de polinômio (multinomial ou, na prática, “quadrar duas vezes” um quadrático). Vamos primeiro calcular \bigl(3 + 2x + x^2\bigr)^{2} e em seguida elevar esse resultado ao quadrado para obter a quarta potência.

Passo 2

Calcular
\bigl(3 + 2x + x^2\bigr)^{2}.
Fazendo o quadrado de um trinômio:
( x^2 + 2x + 3 )^{2} = x^4 + 2\cdot x^2\cdot 2x + 2\cdot x^2\cdot 3 + (2x)^2 + 2\cdot 2x\cdot 3 + 3^2
= x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x^2 + 12x + 9 = x^4 + 4x^3 + 10x^2 + 12x + 9.

Passo 3

Agora elevamos esse resultado ao quadrado:
\bigl(x^4 + 4x^3 + 10x^2 + 12x + 9\bigr)^{2}
= x^4\cdot x^4 + 2\cdot x^4\cdot 4x^3 + 2\cdot x^4\cdot 10x^2 + 2\cdot x^4\cdot 12x + 2\cdot x^4\cdot 9 + (4x^3)^2 + 2\cdot 4x^3\cdot 10x^2 + 2\cdot 4x^3\cdot 12x + 2\cdot 4x^3\cdot 9
\quad + (10x^2)^2 + 2\cdot 10x^2\cdot 12x + 2\cdot 10x^2\cdot 9 + (12x)^2 + 2\cdot 12x\cdot 9 + 9^2.

Passo 4

Agora juntamos os termos semelhantes:
x^8 +8x^7 +(20+16)x^6 +(24+80)x^5 +(18+96+100)x^4 +(72+240)x^3 +(180+144)x^2 +216x +81
= x^8 + 8x^7 + 36x^6 + 104x^5 + 214x^4 + 312x^3 + 324x^2 + 216x + 81.

Resposta

\boxed{x^8 + 8x^7 + 36x^6 + 104x^5 + 214x^4 + 312x^3 + 324x^2 + 216x + 81.}

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