Desenvolva a série de potências em torno da origem
9. f_{9}(x)=\frac{\cos (x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências em torno de x=0 de
f_{9}(x)=\frac{\cos(x)}{x^{2}}.
Para isso, vamos usar a série de Maclaurin de \cos(x) e dividir termo a termo por x^{2}.

Passo 2

Recordando a série de Maclaurin de \cos(x):
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{2n},
válida para todo x.

Passo 3

Dividindo a expansão de \cos(x) por x^{2}, obtemos
\frac{\cos(x)}{x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{2n-2}.

Passo 4

Escrevendo os primeiros termos (tomando n=0,1,2,3\ldots) temos
\frac{\cos(x)}{x^{2}} = x^{-2} -\frac{1}{2} +\frac{x^{2}}{24} -\frac{x^{4}}{720} +\cdots.

Resposta

\frac{\cos(x)}{x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{2n-2} = x^{-2} -\tfrac12 +\tfrac{x^{2}}{24} -\tfrac{x^{4}}{720} +\cdots.

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