Desenvolva a série de potências em torno da origem
8. f_{8}(x)=\frac{\sin \left(x^{2}\right)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências em torno da origem de
f_{8}(x)=\frac{\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{2}}.
O conteúdo usado será a série de Taylor de \sin(u) em u=0, e depois faremos a substituição u=x^{2} e dividiremos por x^{2}.

Passo 2

Recordando a série de Taylor de \sin(u) em u=0:
\sin(u)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Fazendo u=x^{2}, obtemos
\sin\bigl(x^{2}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(x^{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Dividindo por x^{2}, a série de potências de f_{8}(x) fica
\frac{\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!\,x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n}}{(2n+1)!}.

Resposta

f_{8}(x)=\frac{\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n}}{(2n+1)!} =1-\frac{x^{4}}{3!}+\frac{x^{8}}{5!}-\frac{x^{12}}{7!}+\cdots.

Exercícios relacionados