(Leithold página 1011) Determine a menor distância da origem a um ponto do elipsóide 9 x^{2}+4 y^{2}+ z^{2}=36.

Passo 1

O enunciado pede a menor distância da origem a um ponto (x,y,z) que satisfaz o elipsóide
9x^{2} + 4y^{2} + z^{2} = 36.
Para isso, vamos minimizar a função distância ao quadrado
f(x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}
sujeita à restrição
g(x,y,z) = 9x^{2} + 4y^{2} + z^{2} - 36 = 0,
usando o método de multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Escrevemos as condições de Lagrange:
\nabla f = \lambda \,\nabla g.
Como \nabla f=(2x,\,2y,\,2z) e \nabla g=(18x,\,8y,\,2z), temos as equações
2x = \lambda \,18x,\quad 2y = \lambda \,8y,\quad 2z = \lambda \,2z.

Passo 3

Cada uma das três equações acima dá
2 = 18\lambda\quad\text{se }x\neq0, \qquad 2 = 8\lambda\quad\text{se }y\neq0, \qquad 2 = 2\lambda\quad\text{se }z\neq0.
Não existe um \lambda que satisfaça simultaneamente as três se x,y,z forem todos não nulos. Logo, na solução de mínimo pelo elipsóide, pelo menos dois dos três coordenados devem ser zero.

Passo 4

Testamos os três casos em que apenas um dos valores é não nulo:
  1. x\neq0, y=z=0. Da restrição vem
9x^{2}=36\implies x^{2}=4\implies x=\pm2,
e a distância é \sqrt{x^{2}}=2.
  1. y\neq0, x=z=0. Da restrição vem
4y^{2}=36\implies y^{2}=9\implies y=\pm3,
e a distância é \sqrt{y^{2}}=3.
  1. z\neq0, x=y=0. Da restrição vem
z^{2}=36\implies z=\pm6,
e a distância é \sqrt{z^{2}}=6.

Passo 5

Comparando as três distâncias possíveis 2, 3 e 6, a menor é 2.

Resposta

A menor distância da origem ao elipsóide é 2.

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