(Leithold página 1011) Determine a menor distância da origem a um ponto do elipsóide
.
Passo 1
O enunciado pede a menor distância da origem a um ponto
que satisfaz o elipsóide
Para isso, vamos minimizar a função distância ao quadrado
sujeita à restrição
usando o método de multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Escrevemos as condições de Lagrange:
Como
e
, temos as equações
Passo 3
Cada uma das três equações acima dá
Não existe um
que satisfaça simultaneamente as três se
forem todos não nulos. Logo, na solução de mínimo pelo elipsóide, pelo menos dois dos três coordenados devem ser zero.
Passo 4
Testamos os três casos em que apenas um dos valores é não nulo:
-
, . Da restrição vem
e a distância é
.
-
, . Da restrição vem
e a distância é
.
-
, . Da restrição vem
e a distância é
.
Passo 5
Comparando as três distâncias possíveis
,
e
, a menor é
.
Resposta
A menor distância da origem ao elipsóide é
.