Desenvolvendo familiaridade com coordenadas polares
:
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas das unidades vetoriais radiais e angulares em coordenadas polares, ou seja,
e
. Isso está dentro do conteúdo de coordenadas polares e vetores. Para resolver, vamos precisar entender como as unidades vetoriais
e
mudam conforme o ângulo
varia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas essas unidades vetoriais em coordenadas polares:
-
é a unidade vetorial que aponta na direção radial, ou seja, na direção do ponto do qual estamos medindo. -
é a unidade vetorial que aponta na direção tangencial, ou seja, perpendicular a e na direção em que aumenta.
Essas duas vetores são ortogonais e rotacionam conforme o ângulo
muda.
Passo 3
Agora, para encontrar as derivadas dessas unidades vetoriais em relação a
, vamos pensar em como elas mudam quando
aumenta um pouquinho.
Quando
aumenta,
gira na direção de
. Da mesma forma,
gira na direção oposta a
. Então, intuitivamente:
- A derivada de
em relação a deve apontar na direção de . - A derivada de
em relação a deve apontar na direção oposta a .
Passo 4
Formalizando isso, podemos escrever:
Essas relações mostram como as unidades vetoriais mudam conforme o ângulo
varia.