Desenvolvendo familiaridade com coordenadas polares (r, theta) :
Calcule d rd theta e d thetad theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas das unidades vetoriais radiais e angulares em coordenadas polares, ou seja, d rd theta e d thetad theta. Isso está dentro do conteúdo de coordenadas polares e vetores. Para resolver, vamos precisar entender como as unidades vetoriais r e theta mudam conforme o ângulo theta varia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidas essas unidades vetoriais em coordenadas polares:
  • r é a unidade vetorial que aponta na direção radial, ou seja, na direção do ponto do qual estamos medindo.
  • theta é a unidade vetorial que aponta na direção tangencial, ou seja, perpendicular a r e na direção em que theta aumenta.
Essas duas vetores são ortogonais e rotacionam conforme o ângulo theta muda.

Passo 3

Agora, para encontrar as derivadas dessas unidades vetoriais em relação a theta, vamos pensar em como elas mudam quando theta aumenta um pouquinho.
Quando theta aumenta, r gira na direção de theta. Da mesma forma, theta gira na direção oposta a r. Então, intuitivamente:
  • A derivada de r em relação a theta deve apontar na direção de theta.
  • A derivada de theta em relação a theta deve apontar na direção oposta a r.

Passo 4

Formalizando isso, podemos escrever:
d rd theta = theta
d thetad theta = -r
Essas relações mostram como as unidades vetoriais mudam conforme o ângulo theta varia.

Resposta

d rd theta = theta
d thetad theta = -r

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