Desenvolvendo familiaridade com coordenadas polares
:
Desenhe os versores polares junto aos cartesianos e escreva
e
em função de
e
.
Desenhe os versores polares junto aos cartesianos e escreva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar os versores (ou vetores unitários) nas coordenadas polares
junto com as coordenadas cartesianas e, depois, expressar
e
em função de
e
e do ângulo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os sistemas de coordenadas polares e cartesianas e como relacionar os vetores unitários de cada sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são os versores
e
nas coordenadas cartesianas. O
aponta para a direita ao longo do eixo x, e o
aponta para cima ao longo do eixo y. Eles servem como base para qualquer vetor no plano.
Passo 3
Agora, nas coordenadas polares, temos os versores
e
. O
aponta na direção do raio que conecta a origem ao ponto considerado, formando um ângulo
com o eixo x. Já o
é perpendicular a
e aponta na direção do aumento do ângulo
.
Passo 4
Para expressar
em termos de
e
, vamos usar as funções trigonométricas do ângulo
. O
tem uma componente no eixo x igual a
e uma componente no eixo y igual a
. Assim, podemos escrever:
Passo 5
Agora, para encontrar
, lembramos que ele é perpendicular a
e aponta na direção de aumento de
. Isso significa que suas componentes serão
no eixo x e
no eixo y. Portanto, temos:
Resposta
Os versores polares em função dos versores cartesianas são: