Desenvolvendo familiaridade com coordenadas polares (r, theta) :
Desenhe os versores polares junto aos cartesianos e escreva r e theta em função de i, j e theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar os versores (ou vetores unitários) nas coordenadas polares (r, theta) junto com as coordenadas cartesianas e, depois, expressar r e theta em função de i e j e do ângulo theta. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os sistemas de coordenadas polares e cartesianas e como relacionar os vetores unitários de cada sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os versores i e j nas coordenadas cartesianas. O i aponta para a direita ao longo do eixo x, e o j aponta para cima ao longo do eixo y. Eles servem como base para qualquer vetor no plano.

Passo 3

Agora, nas coordenadas polares, temos os versores r e theta. O r aponta na direção do raio que conecta a origem ao ponto considerado, formando um ângulo theta com o eixo x. Já o theta é perpendicular a r e aponta na direção do aumento do ângulo theta.

Passo 4

Para expressar r em termos de i e j, vamos usar as funções trigonométricas do ângulo theta. O r tem uma componente no eixo x igual a costheta e uma componente no eixo y igual a sintheta. Assim, podemos escrever:
r = costheta , i + sintheta , j

Passo 5

Agora, para encontrar theta, lembramos que ele é perpendicular a r e aponta na direção de aumento de theta. Isso significa que suas componentes serão -sintheta no eixo x e costheta no eixo y. Portanto, temos:
theta = -sintheta , i + costheta , j

Resposta

Os versores polares em função dos versores cartesianas são:
r = costheta , i + sintheta , j
theta = -sintheta , i + costheta , j

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