Desenvolver expressões para
e
das seguintes partículas de geometria simples:
paralelepípedo reto de arestas
e qX onde p e q são constantes
paralelepípedo reto de arestas
Passo 1
O enunciado pede expressões para
e
da partícula que é um paralelepípedo reto com arestas
, onde
e
são constantes. Informações dadas:
- arestas:
, , ; -
e são constantes positivas (assumir positivas, pois são razões de comprimentos); - é pedido:
-
: o diâmetro equivalente baseado no volume (diâmetro da esfera que tem o mesmo volume da partícula); -
: a esfericidade (sphericity), definida como a razão entre a área superficial da esfera de mesmo volume e a área superficial da partícula.
-
Passo 2
Calcular o volume
do paralelepípedo. Lembrete: o volume de um paralelepípedo reto é o produto das três arestas.
Fazendo as multiplicações em potência de
,
Explicação didática:
é uma unidade de comprimento; multiplicando
obtém-se uma quantidade em unidades de comprimento ao cubo, daí o
. Os fatores
e
ficam multiplicando o
.
Passo 3
Definir
(diâmetro equivalente por volume). A esfera de diâmetro
tem volume
. Para que essa esfera tenha o mesmo volume
da partícula:
Isolando
,
Substituindo
,
Comentário prático: essa fórmula dá o fator multiplicativo em relação a
; por exemplo, para um cubo (
) tem-se
.
Passo 4
Calcular a área superficial
do paralelepípedo. Lembrete: área de paralelepípedo reto é duas vezes a soma das áreas das três faces diferentes:
Fatorando
,
Explicação didática: cada termo dentro da soma é a área de uma face (produto de dois comprimentos). O fator
aparece porque cada face tem a sua oposta idêntica.
Passo 5
Definir a esfericidade
. Lembrete: a esfericidade é a razão entre a área superficial da esfera de mesmo volume e a área superficial da partícula. A área de uma esfera de diâmetro
é
(pois
e
, logo
). Assim,
Esta definição é adimensional e varia entre 0 e 1 (1 para esfera perfeita).
Passo 6
Substituir
e
na expressão de
e simplificar passo a passo.
Primeiro calcule
usando
:
Escrevendo o numerador de forma conveniente:
pois
.
Agora dividir pelo
:
Cancelar
e obter:
Forma alternativa (equivalente), reunindo fatores dentro de uma raiz cúbica:
Essas duas expressões são matematicamente idênticas; a primeira é um pouco mais direta.
Passo 7
Verificação rápida para um caso conhecido (motivacional): se
(cubo de aresta
),
Comentário final: as fórmulas obtidas permitem calcular o diâmetro equivalente por volume e a esfericidade para qualquer paralelepípedo reto dado
. Vai dar certo na prova — respira fundo que conseguimos!