Desenvolver expressões para d_{p} e \varphi das seguintes partículas de geometria simples:
paralelepípedo reto de arestas \mathrm{X}, \mathrm{pX} e qX onde p e q são constantes

Passo 1

O enunciado pede expressões para d_{p} e \varphi da partícula que é um paralelepípedo reto com arestas X,\; pX,\; qX, onde p e q são constantes. Informações dadas:
  • arestas: X, pX, qX;
  • p e q são constantes positivas (assumir positivas, pois são razões de comprimentos);
  • é pedido:
    • d_{p}: o diâmetro equivalente baseado no volume (diâmetro da esfera que tem o mesmo volume da partícula);
    • \varphi: a esfericidade (sphericity), definida como a razão entre a área superficial da esfera de mesmo volume e a área superficial da partícula.

Passo 2

Calcular o volume V do paralelepípedo. Lembrete: o volume de um paralelepípedo reto é o produto das três arestas.
V = X \cdot (pX) \cdot (qX).
Fazendo as multiplicações em potência de X,
V = p\,q\,X^{3}.
Explicação didática: X é uma unidade de comprimento; multiplicando X\cdot pX\cdot qX obtém-se uma quantidade em unidades de comprimento ao cubo, daí o X^{3}. Os fatores p e q ficam multiplicando o X^{3}.

Passo 3

Definir d_{p} (diâmetro equivalente por volume). A esfera de diâmetro d tem volume \dfrac{\pi d^{3}}{6}. Para que essa esfera tenha o mesmo volume V da partícula:
\frac{\pi d_{p}^{3}}{6} = V.
Isolando d_{p},
d_{p}^{3} = \frac{6V}{\pi}, \qquad d_{p} = \left(\frac{6V}{\pi}\right)^{1/3}.
Substituindo V = p q X^{3},
d_{p} = \left(\frac{6\,p\,q\,X^{3}}{\pi}\right)^{1/3} = X\left(\frac{6\,p\,q}{\pi}\right)^{1/3}.
Comentário prático: essa fórmula dá o fator multiplicativo em relação a X; por exemplo, para um cubo ( p=q=1) tem-se d_{p}=X(6/\pi)^{1/3}.

Passo 4

Calcular a área superficial A_{p} do paralelepípedo. Lembrete: área de paralelepípedo reto é duas vezes a soma das áreas das três faces diferentes:
A_{p} = 2\bigl(X\cdot pX + X\cdot qX + pX\cdot qX\bigr).
Fatorando X^{2},
A_{p} = 2X^{2}\bigl(p + q + p q\bigr).
Explicação didática: cada termo dentro da soma é a área de uma face (produto de dois comprimentos). O fator 2 aparece porque cada face tem a sua oposta idêntica.

Passo 5

Definir a esfericidade \varphi. Lembrete: a esfericidade é a razão entre a área superficial da esfera de mesmo volume e a área superficial da partícula. A área de uma esfera de diâmetro d é \pi d^{2} (pois A_{\text{esfera}}=4\pi r^{2} e d=2r, logo 4\pi r^{2}=\pi d^{2}). Assim,
\varphi = \frac{\text{área da esfera de diâmetro } d_{p}}{A_{p}} = \frac{\pi d_{p}^{2}}{A_{p}}.áâ
Esta definição é adimensional e varia entre 0 e 1 (1 para esfera perfeita).

Passo 6

Substituir d_{p} e A_{p} na expressão de \varphi e simplificar passo a passo.
Primeiro calcule \pi d_{p}^{2} usando d_{p}=X\left(\dfrac{6pq}{\pi}\right)^{1/3}:
d_{p}^{2} = X^{2}\left(\frac{6\,p\,q}{\pi}\right)^{2/3}, \qquad \pi d_{p}^{2} = \pi X^{2}\left(\frac{6\,p\,q}{\pi}\right)^{2/3}.
Escrevendo o numerador de forma conveniente:
\pi d_{p}^{2} = X^{2}\,\pi^{1/3}(6\,p\,q)^{2/3},
pois \pi\cdot\pi^{-2/3}=\pi^{1/3}.
Agora dividir pelo A_{p}=2X^{2}(p+q+pq):
\varphi = \frac{\pi d_{p}^{2}}{A_{p}} = \frac{X^{2}\,\pi^{1/3}(6\,p\,q)^{2/3}}{2X^{2}\,(p+q+pq)}.
Cancelar X^{2} e obter:
\varphi = \frac{\pi^{1/3}(6\,p\,q)^{2/3}}{2\,(p+q+pq)}.
Forma alternativa (equivalente), reunindo fatores dentro de uma raiz cúbica:
\varphi = \frac{\bigl(\pi\,(6\,p\,q)^{2}\bigr)^{1/3}}{2\,(p+q+pq)} = \frac{\bigl(36\,\pi\,p^{2}q^{2}\bigr)^{1/3}}{2\,(p+q+pq)}.
Essas duas expressões são matematicamente idênticas; a primeira é um pouco mais direta.

Passo 7

Verificação rápida para um caso conhecido (motivacional): se p=q=1 (cubo de aresta X),
d_{p}=X\left(\frac{6}{\pi}\right)^{1/3}\approx 1{,}241\,X, \qquad \varphi \approx 0{,}806.
Comentário final: as fórmulas obtidas permitem calcular o diâmetro equivalente por volume e a esfericidade para qualquer paralelepípedo reto dado X,p,q. Vai dar certo na prova — respira fundo que conseguimos!

Resposta

d_{p}=X\left(\dfrac{6\,p\,q}{\pi}\right)^{1/3}
\displaystyle \varphi=\frac{\pi^{1/3}(6\,p\,q)^{2/3}}{2\,(p+q+pq)}

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