• Exemplo 1) Cálculo da queda de pressão e diâmetro de uma torre recheada para absorção de \mathrm{NH}_{3}. Uma torre com recheio de anéis de Pall metálico de 1 in é empregada para tratar 1440 \mathrm{lb} / \mathrm{h} de um gás contendo 3 \% molar de amônia em mistura com ar. Água pura é utilizada como líquido absorvedor. A coluna opera a 25^{\circ} \mathrm{C} \left(537^{\circ} \mathrm{R}\right) e 1 atm . A razão entre os fluxos mássicos de líquido e gás ( G_{x} / G_{y} ) é de 2/1. Calcular:
    a) A queda de pressão e o fluxo do gás na inundação.
    b) Os fluxos mássicos de gás e líquido, a queda de pressão e o diâmetro da coluna para um projeto conservativo.
    c) Repetir as letras (a) e (b), mas agora usando recheio estruturado Mellapak 250Y ( F_{p}=20 ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados fornecidos pelo enunciado:
  • Vazão mássica do gás: 1440\\ \mathrm{lb/h}.
  • Composição do gás: 3\% molar de \mathrm{NH_{3}} e 97\% molar de ar.
  • Líquido: água pura, à temperatura 25^\circ\mathrm{C} (ou 537^\circ\mathrm{R}) e pressão 1\\ \mathrm{atm}.
  • Razão entre fluxos mássicos líquido / gás: \dfrac{G_x}{G_y}= \dfrac{2}{1} (interpreto como vazão mássica de líquido igual a duas vezes a vazão mássica do gás).
  • Recheios a considerar:
    • (i) Anéis de Pall metálico de 1\\ \mathrm{in} (empacotamento aleatório).
    • (ii) Recheio estruturado Mellapak 250Y com F_p = 20 (o enunciado forneceu este F_p).
  • O enunciado pede:
    a) Calcular a queda de pressão e o fluxo de gás na inundação (flooding) — isto é, obter a vazão/velocidade de gás no ponto de inundação e a queda de pressão associada.
    b) Para um projeto conservativo, calcular os fluxos mássicos de gás e líquido, a queda de pressão e o diâmetro da coluna.
    c) Repetir (a) e (b) usando Mellapak 250Y ( F_p=20).
Informações que vou usar imediatamente (conversões e propriedades padrão em 25°C / 1 atm):
  • Massa molar aproximada do \mathrm{NH_3}: M_{\mathrm{NH_3}} = 17{,}031\\ \mathrm{g/mol}.
  • Massa molar aproximada do ar: M_{\mathrm{ar}} \approx 29{,}00\\ \mathrm{g/mol}.
  • Propriedades da água líquida a 25^\circ\mathrm{C}: \rho_L \approx 997\\ \mathrm{kg/m^3} (valor típico usado em projeto).
  • Constante dos gases universais: R = 8{,}314\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kmol\cdot K)} (vou usar forma compatível nas fórmulas).
  • Temperatura absoluta: T = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão total: P = 1\\ \mathrm{atm} = 101325\\ \mathrm{Pa}.
Observação final deste passo: a solução numérica exige, além dos dados já dados, propriedades geométricas do empacotamento (por exemplo: fator de empacotamento F_p, porosidade \epsilon, área específica a, ou correlações/constantes empíricas para inundação e para queda de pressão do tipo apropriado ao empacotamento). O enunciado fornece F_p só para Mellapak 250Y, mas não fornece propriedades (ou F_p) para os anéis de Pall. Além disso, o cálculo da velocidade de inundação requer uma correlação empírica (ou curva de fabricante) que depende fortemente do tipo de empacotamento. Vou explicar o método completo e quais valores seriam necessários; no final indico exatamente quais dados faltam para obter os números pedidos.

Passo 2

Conversões e cálculo das vazões métricas simples (tradução do dado inicial para unidades SI) — muito importante para os próximos passos.
  1. Converter vazão mássica do gás para SI:
1440\\ \mathrm{lb/h}\times 0{,}45359237\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{lb}} = 653{,}164\\ \mathrm{kg/h}.
Convertendo para \mathrm{kg/s}:
\dot{m}_G = \frac{653{,}164}{3600} \approx 0{,}1814\\ \mathrm{kg/s}.
  1. Massa molar média do gás (mistura 3% mol NH _3 + 97% mol ar).
M_{\text{médio}} = 0{,}03\cdot 17{,}031 + 0{,}97\cdot 29{,}00 = 28{,}64\\ \mathrm{g/mol} = 28{,}64\\ \mathrm{kg/kmol}.é
  1. Vazão molar do gás:
\dot{n}_G = \frac{\dot{m}_G}{M_{\text{médio}}} = \frac{0{,}1814\\ \mathrm{kg/s}}{28{,}64\\ \mathrm{kg/kmol}} \approx 0{,}006338\\ \mathrm{kmol/s} = 6{,}338\\ \mathrm{mol/s}.é
(ou \approx 22819\\ \mathrm{mol/h} se precisar).
  1. Densidade do gás pela lei dos gases ideais (método conveniente e suficiente para ar/amônia diluída a 1 atm):
\rho_G = \frac{P\, M_{\text{médio}}}{R_u\, T},é
onde M_{\text{médio}}é em \mathrm{kg/kmol}, R_u = 8314{,}462\\ \mathrm{Pa\cdot m^3/(kmol\cdot K)}, P em Pa, T em K. Substituindo:
\rho_G \approx \frac{101325\cdot 28{,}64}{8314{,}462\cdot 298{,}15} \approx 1{,}171\\ \mathrm{kg/m^3}.
  1. Vazão volumétrica do gás:
\dot{V}_G = \frac{\dot{m}_G}{\rho_G} \approx \frac{0{,}1814}{1{,}171} \approx 0{,}1550\\ \mathrm{m^3/s} \quad(\approx 558\\ \mathrm{m^3/h}).
  1. Vazão mássica do líquido (pela razão dada G_x/G_y = 2/1):
\dot{m}_L = 2\cdot \dot{m}_G \approx 2\cdot 0{,}1814 \approx 0{,}3628\\ \mathrm{kg/s} \quad(\approx 1306{,}3\\ \mathrm{kg/h}).
Comentário didático: já temos as vazões básicas em unidades SI; estes números são pilares para transformar vazões para velocidades superficiais (quando escolhermos área ou diâmetro), para calcular fluxo mássico por área G (m/kg·m^2·s), e para entrar nas correlações de inundação e de queda de pressão.

Passo 3

Definições e fórmulas principais que usaremos — ensino passo a passo (sem ainda aplicar números de inundação, porque isso exige correlações empíricas específicas ao empacotamento).
  1. Velocidade superficial de gás:
U_G \equiv \frac{\dot{V}_G}{A},
onde A é a área de seção transversal da coluna ( A=\pi D^2/4). Explicação: U_G é a velocidade “média” que o gás teria se ocupasse a área livre sem o recheio; é a variável usada nas correlações de enchimento/inundação e na queda de pressão.
  1. Fluxo mássico superficial (densidade vezes velocidade superficial):
G^\star_G \equiv \rho_G U_G = \frac{\dot{m}_G}{A}.
Isto é útil quando se trabalha com correlações em termos de carga mássica G (geral em kg/(m^2·s)).
  1. Correlação típica para queda de pressão por unidade de altura em empacamentos (forma compacta muito usada em projeto, usando fator de empacotamento):
\frac{\Delta P}{H} = F_p \cdot \frac{\rho_G U_G^2}{2}.
Explicação detalhada das variáveis:
  • \dfrac{\Delta P}{H} é a perda de carga do gás por unidade de altura do empacamento (Pa/m).
  • F_p é o fator de empacotamento (unidade \mathrm{m^{-1}} na forma acima) que incorpora a geometria do enchimento e a forma como o escoamento é dissipado. Para recheios estruturados os fabricantes normalmente fornecem F_p; para recheios aleatórios geralmente usa-se uma correlação tipo Ergun com diâmetro equivalente/porosidade.
  • \rho_G é a densidade do gás (kg/m^3).
  • U_G é a velocidade superficial do gás (m/s).
    Observação: esta forma significa que a perda de carga é proporcional à energia dinâmica \frac{1}{2}\rho_G U_G^2 multiplicada por um fator geométrico F_p. Para empacamentos fluidodinâmicos práticos, esta é uma forma comum e muito útil.
  1. Alternativa (para empacamentos aleatórios) — equação tipo Ergun (mais detalhada, envolve viscosidade):
\frac{\Delta P}{H} = \frac{150\,\mu_G (1-\epsilon)^2}{d_p^2 \epsilon^3} U_G + \frac{1{,}75\,\rho_G (1-\epsilon)}{d_p \epsilon^3} U_G^2.
Explicação: aqui aparecem
  • \mu_G: viscosidade do gás (Pa·s),
  • \epsilon: porosidade do leito (fração volumétrica de vazios),
  • d_p: diâmetro equivalente das partículas/elementos do enchimento.
    Esta equação é usada quando se tem parâmetros geométricos do recheio (para anéis de Pall, d_p, \epsilon e uma correção geométrica seriam necessários). Se esses dados não estiverem disponíveis, não se pode aplicar numericamente esta equação.

Passo 4

Explicar o conceito de inundação (flooding) e a forma típica de determinar a vazão de inundação — e que informação é estritamente necessária.
  1. O que é inundação (flooding)?
  • Inundação é a condição em que a coluna não consegue escoar mais líquido para baixo sem que o arraste de líquido pelo gás aumente de modo inaceitável; geometricamente, é o ponto em que a transferência de fase se torna limitada e a queda de pressão cresce fortemente com aumento de vazão de gás. Em projeto, define-se uma velocidade de gás de inundação U_{G,f} (ou uma vazão volumétrica \dot V_{G,f}) para cada taxa de líquido superficial j_L = U_L = \dot V_L / A (ou equivalentes mássicos).
  • Na prática, a relação entre U_{G,f} e j_L é dada por curvas/diagramas de inundação específicas do recheio — obtidas experimentalmente por fabricantes ou em tabelas técnicas (cada tipo/granulometria/estrutura tem curva característica).
  1. Forma genérica de correlação de inundação usada em projetos (expressão didática):
    Uma forma simplificada e amplamente usada, em termos de velocidades superficiais, é:
U_{G,f} = C_{\text{emp}} \sqrt{\frac{(\rho_L - \rho_G)\, g \, j_L}{\rho_G}},
onde
  • j_L é a velocidade superficial do líquido ( j_L = \dfrac{\dot V_L}{A} ou equivalentemente \dfrac{\dot m_L}{\rho_L A}),
  • g é a aceleração da gravidade,
  • C_{\text{emp}} é uma constante empírica que depende fortemente do tipo de empacotamento (estrutura, tamanho, orientação). Em muitos casos C_{\text{emp}} é obtido de curvas do fabricante ou de correlações empíricas (por exemplo valores típicos para recheios estruturados podem ser numericamente bem diferentes daqueles para recheios aleatórios).
    Explicação: a raiz quadrada tem origem física nos balanços de forças gravitacionais e de arraste que controlam acúmulo de líquido; o fator empírico C_{\text{emp}} ajusta a diferença entre geometrias.
  1. Por que não posso calcular U_{G,f} numericamente sem dados adicionais?
  • Para usar a equação acima é preciso conhecer C_{\text{emp}} (ou outra forma empírica equivalente) para o recheio em questão. Para o Mellapak 250Y o enunciado fornece F_p=20 (que serve para quedas de pressão), mas não fornece explicitamente C_{\text{emp}} de inundação. Para anéis de Pall a geometria é diferente — o enunciado não dá nem F_p, nem \epsilon, nem a (área específica), nem C_{\text{emp}}. Sem esses dados empíricos/geométricos não dá para obter numericamente U_{G,f}.
  • Em resumo: inundação é uma propriedade experimental/geometricamente sensível; precisa-se das curvas ou constantes do empacotamento para obter números.

Passo 5

Mostrar, passo a passo, como calcular numericamente tudo (se os parâmetros do empacotamento e a correlação de inundação forem fornecidos). Ou seja: o algoritmo de projeto que deve ser aplicado na prova.
Supondo que o projetista tenha, para o empacamento em questão:
  • o fator de empacotamento F_p (m^-1) ou os parâmetros \epsilon, d_p e correlações Ergun,
  • e a correlação/constante de inundação C_{\text{emp}} ou curva U_{G,f} vs j_L,
então o cálculo segue estes passos práticos:
  1. Calcular \dot{m}_G, \dot{V}_G, \dot{m}_L e \dot{V}_L (já fizemos no Passo 2). Valores que já temos:
\dot{m}_G \approx 0{,}1814\\ \mathrm{kg/s},\qquad \dot{V}_G \approx 0{,}1550\\ \mathrm{m^3/s},
\dot{m}_L \approx 0{,}3628\\ \mathrm{kg/s},\qquad \dot{V}_L \approx \frac{\dot{m}_L}{\rho_L}\approx \frac{0{,}3628}{997}\approx 0{,}000364\\ \mathrm{m^3/s}.
  1. Escolher a velocidade superficial de projeto para o gás:
  • Encontrar a velocidade de inundação U_{G,f} usando a correlação empírica apropriada (por exemplo a fórmula do Passo 4 ou leitura de gráfico do fabricante).
  • Para um “projeto conservador” normalmente se escolhe:
U_{G,\text{proj}} = \alpha\; U_{G,f},\qquad \text{com } \alpha \in [0{,}4,\;0{,}8],
valores típicos são \alpha = 0{,}5 (50% da velocidade de inundação) para projeto conservador. Esse \alpha depende da criticidade do processo.
  1. Determinar a área e o diâmetro da coluna:
A = \frac{\dot{V}_G}{U_{G,\text{proj}}},\qquad D = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
  1. Calcular a perda de carga por unidade de altura (usar a correlação adequada ao empacamento):
  • Se o fabricante dá F_p, usar
\frac{\Delta P}{H} = F_p\cdot \frac{\rho_G U_G^2}{2}.
Substitua U_G = U_{G,\text{proj}} (ou para avaliar a queda de pressão em inundação, use U_{G,f}). Multiplique por altura de enchimento H para obter a queda de pressão total: \Delta P = (\Delta P/H)\cdot H.
  • Se estiver usando a forma Ergun (empacamento aleatório), usar a equação do Passo 3 com \epsilon, d_p e \mu_G.
  1. Determinar a vazão de inundação (procedimento concreto):
  • Calcule a velocidade superficial do líquido j_L = \dfrac{\dot{V}_L}{A} (mas note: A depende de U_G, isto é implícito).
  • Use a correlação de inundação U_{G,f} = f(j_L, \rho_G, \rho_L, g, \text{parâmetros do empacamento})â para resolver U_{G,f}. Frequentemente há iteração porque A (logo j_L) depende de U_G; procedimento típico:
    a) chutar uma área A (ou chutar U_G),
    b) calcular j_L,
    c) calcular U_{G,f} pela correlação,
    d) ajustar a suposição até U_G consistente com escolha de A/ U_{G,\text{proj}}.
  1. Comentário prático sobre quedas de pressão aceitáveis:
  • Projetos industriais costumam limitar \Delta P total (ex.: abaixo de 10 30\\ \mathrm{kPa} dependendo do processo). Esse critério afeta a escolha de altura H e da velocidade de projeto. Sem uma especificação do máximo admissível, o projeto de queda de pressão fica incompleto.

Passo 6

Aplicação parcial: calcular as quantidades que são puramente determinadas pelos dados fornecidos (sem usar nenhuma propriedade empírica do enchimento que esteja em falta). Ou seja: já calculamos as vazões; apresentar esses resultados de forma clara e utilizável na prova.
Resultados numéricos do enunciado (relevantes e certos, obtidos antes de necessidade de dados empíricos):
  • Vazão mássica do gás:
\dot{m}_G \approx 0{,}1814\\ \mathrm{kg/s}\quad(\approx 653{,}164\\ \mathrm{kg/h}).
  • Vazão molar do gás:
\dot{n}_G \approx 6{,}338\\ \mathrm{mol/s}\quad(\approx 22819\\ \mathrm{mol/h}).
  • Densidade do gás (aproximação ideal-gas):
\rho_G \approx 1{,}171\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Vazão volumétrica do gás:
\dot{V}_G \approx 0{,}1550\\ \mathrm{m^3/s}\quad(\approx 558\\ \mathrm{m^3/h}).
  • Vazão mássica do líquido (pela razão 2/1):
\dot{m}_L \approx 0{,}3628\\ \mathrm{kg/s}\quad(\approx 1306{,}3\\ \mathrm{kg/h}).
  • Vazão volumétrica do líquido (com \rho_L\approx 997\\ \mathrm{kg/m^3}):
\dot{V}_L \approx 0{,}000364\\ \mathrm{m^3/s}\quad(\approx 1{,}309\\ \mathrm{m^3/h}).
Estes números são invariantes e imprescindíveis para qualquer cálculo posterior do diâmetro, queda de pressão e inundação.

Passo 7

Especificar exatamente os dados empíricos / tabelas / valores que FALTAM e que são necessários para se obter as respostas numéricas pedidas nas letras (a), (b) e (c).
Para cada item pedido no enunciado precisamos:
  • Para anéis de Pall 1 in (empacamento aleatório):
    • Porosidade \epsilon (fração do volume ocupado por vazios) ou fator F_p equivalente; OU
    • Diâmetro equivalente d_p e os parâmetros geométricos necessários para aplicar a equação de Ergun; OU
    • Curvas de inundação U_{G,f} versus j_L ou uma constante empírica C_{\text{emp}} para a correlação de inundação.
      Sem ao menos um desses conjuntos de dados não é possível calcular numericamente a velocidade de inundação nem a queda de pressão.
  • Para Mellapak 250Y:
    • O enunciado fornece F_p = 20 (bom para calcular \Delta P/H pela fórmula \Delta P/H = F_p\,\rho_G U_G^2/2), mas ainda é necessário:
      • a correlação empírica de inundação U_{G,f}(j_L) específica para Mellapak 250Y (ou um valor de C_{\text{emp}} aplicável), para determinar U_{G,f};
      • (opcional) se se preferir usar Ergun ou outra correlação, seriam necessárias \epsilon, área específica a, etc.
  • Além disso, para projetar a altura do enchimento H (e assim obter \Delta P total) é necessário saber a altura de enchimento requerida para a remoção desejada de \mathrm{NH_3} (ou o número de estágios teóricos, que depende da transferência de massa). O enunciado não pede a altura de enchimento por transferência de massa, mas a queda de pressão total depende de H.
Resumo dos dados ausentes essenciais:
  1. Curvas/constantes de inundação (empíricas) para cada tipo de recheio (Pall 1 in e Mellapak 250Y).
  2. Para Pall: valores geométricos/empíricos ( \epsilon, d_p ou F_p ou curvas de fábrica).
  3. Se quiser \Delta P TOTAL: a altura do enchimento H (ou uma especificação de quantos metros usar no projeto conservativo).
  4. (Opcional) Valor admissível máximo de perda de carga (critério de projeto).

Passo 8

Como proceder na prova se não forem dados os parâmetros empíricos (dica prática e educativo — o que você deve escrever e pensar na hora da prova):
  • Mostre os cálculos que já são possíveis (conversões de vazões, densidade do gás, vazões volumétricas e mássicas) — isto mostra que você dominou as bases; eu já fiz isso nos passos anteriores.
  • Declare explicitamente quais parâmetros empíricos são necessários e que não foram fornecidos (lista do Passo 7). Em uma prova, isso é aceitável: explique que, com esses parâmetros, aplicaria as fórmulas mostradas no Passo 5 para obter U_{G,f}, U_{G,\text{proj}}, área e D, e então substitui em \Delta P/H = F_p(\rho_G U_G^2/2) (ou em Ergun).
  • Se a prova permitir, use valores típicos de referência (citando a fonte ou dizendo “valor típico”), por exemplo tabelas de fabricantes; mas sempre indique que se está assumindo um valor típico e calcule com esse valor para obter um resultado numérico de exemplo. (Observação: nesta resposta eu não vou assumir tais valores típicos sem que você peça explicitamente, para evitar apresentar números potencialmente incorretos.)

Passo 9

Exemplo ilustrativo (opcional): mostrar numericamente como se calcula o diâmetro e a perda de carga se eu adotasse uma hipótese de velocidade superficial (isso serve de “receita” que você pode aplicar na prova caso tenha U_{G,f} ou F_p).
Suponha, apenas como exemplo ilustrativo (não como resposta do enunciado), que por alguma correlação/consulta a U_{G,f} se obtivesse U_{G,f} = 1{,}0\\ \mathrm{m/s}. Para um projeto conservador escolheríamos U_{G,\text{proj}} = 0{,}5\\ U_{G,f} = 0{,}5\\ \mathrm{m/s}.
A partir disso:
  1. Área:
A = \frac{\dot{V}_G}{U_{G,\text{proj}}} = \frac{0{,}1550}{0{,}5} = 0{,}310\\ \mathrm{m^2}.
  1. Diâmetro:
D = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\cdot 0{,}310}{\pi}} \approx 0{,}628\\ \mathrm{m}\quad(\approx 62{,}8\\ \mathrm{cm}).
  1. Se usar F_p=20 (por exemplo para Mellapak, se aceitarmos usar F_p para perda de carga) e quiser a perda de carga por metro na velocidade projetada:
\frac{\Delta P}{H} = F_p\cdot \frac{\rho_G U_{G,\text{proj}}^2}{2} =20\cdot \frac{1{,}171 \cdot (0{,}5)^2}{2}\approx 20\cdot \frac{1{,}171\cdot 0{,}25}{2} \approx 20\cdot 0{,}1464 \approx 2{,}928\\ \mathrm{Pa/m}.
Isto é um exemplo didático: mostra como aplicar as fórmulas. Mas reforço: os números vindos da suposição U_{G,f}=1{,}0\\ \mathrm{m/s} são hipotéticos — para obter U_{G,f} real é necessário a correlação de inundação do empacamento.

Passo 10

Resumo final do procedimento que você deve apresentar na prova (checklist prático — passo a passo curto para não esquecer):
  1. Converter 1440\\ \mathrm{lb/h} para \dot m_G em \mathrm{kg/s} e calcular \dot n_G, \dot V_G e \rho_G (feito no Passo 2).
  2. Determinar \dot m_L pela razão G_x/G_y (feito no Passo 2), e \dot V_L usando \rho_L.
  3. Obter (da literatura/fabricante) a correlação de inundação U_{G,f} ou C_{\text{emp}} para o tipo de empacamento considerado.
  4. Calcular U_{G,f} usando a correlação e decidir a fração conservadora \alpha (ex.: 0{,}5).
  5. Calcular A e D com U_{G,\text{proj}}=\alpha U_{G,f}.
  6. Calcular \Delta P/H usando F_p (se disponível) ou a equação de Ergun (se \epsilon e d_p estiverem disponíveis). Multiplicar por H para obter \Delta P total.
  7. Reportar resultados e discutir sensibilidade (por ex.: se U_{G,\text{proj}} aumentar em 10% qual o efeito na \Delta P?).

Resposta

Não é possível calcular numericamente as grandezas solicitadas (queda de pressão e fluxo de inundação para os anéis de Pall; resultados completos de projeto para (a), (b) e (c)) porque faltam dados empíricos/geométricos essenciais: curvas ou constantes de inundação ( U_{G,f} ou C_{\text{emp}}) para os dois recheios, e parâmetros geométricos do recheio de Pall (por exemplo F_p ou \epsilon e d_p) e a altura de enchimento H ou critério de queda de pressão total. Apresente esses dados (ou permita usar valores típicos de tabela/fabricante) que eu já faço os cálculos numéricos seguindo o procedimento acima.

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