EVAPORADORES MULTIPLOS EFEITOS
Um evaporador de triplo efeito concentra um líquido sem elevação do ponto de ebulição. A temperatura do vapor de aquecimento que entra no primeiro efeito é 108^{\circ} \mathrm{C}, e a temperatura de ebulição da solução do último efeito é 52^{\circ} \mathrm{C}. Os coeficientes globais de transferência de calor em \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}, são: 2.500 ; 2.000 e 1.500 no primeiro, segundo e terceiro efeito. Qual a temperatura de ebulição no primeiro e segundo efeito?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do vapor de aquecimento que entra no primeiro efeito: T_{\text{vapor}}=108^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de ebulição da solução no último (terceiro) efeito: T_{3}=52^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficientes globais de transferência de calor: U_{1}=2500\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}{}^\circ\mathrm{C}, U_{2}=2000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}{}^\circ\mathrm{C}, U_{3}=1500\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}{}^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    • A temperatura de ebulição no primeiro efeito: T_{1}.
    • A temperatura de ebulição no segundo efeito: T_{2}.
Observação: o enunciado não fornece áreas nem cargas de calor, então adotaremos a hipótese padrão usada nesses problemas (explicarei em seguida).

Passo 2

Explicação física e hipótese usada (muito importante):
  • Fórmula básica de transferência de calor por convecção ou condução combinada em trocadores de calor:
Q = U \, A \, \Delta T
onde:
  • Q é a potência térmica transferida (em W),
  • U é o coeficiente global de transferência de calor (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}{}^\circ\mathrm{C}),
  • A é a área de troca térmica (em \mathrm{m}^2),
  • \Delta T é a diferença de temperatura efetiva entre as duas correntes (em ^\circ\mathrm{C}).
  • Em um evaporador multifásico em série (efeitos em cascata), o vapor gerado em um efeito fornece calor para o efeito seguinte. Assim, sob operação estacionária, a potência térmica que entra no primeiro efeito (do vapor de aquecimento) é a mesma potência que aquece cada efeito sequencialmente (ignorando perdas e consumo interno). Em outras palavras, a mesma vazão de energia Q percorre os três efeitos.
  • O enunciado não informa as áreas A de cada efeito. A hipótese padrão simples e frequente nesses exercícios é assumir que todas as superfícies de troca têm a mesma área A. Com essa hipótese:
Q = U_{1}A\Delta T_{1} = U_{2}A\Delta T_{2} = U_{3}A\Delta T_{3}.
Cancelando A, obtemos:
U_{1}\Delta T_{1} = U_{2}\Delta T_{2} = U_{3}\Delta T_{3}.
Essa hipótese permite distribuir a queda total de temperatura entre os efeitos em função dos U.

Passo 3

Definir as diferenças de temperatura entre os efeitos:
  • Defino \Delta T_{1} = T_{\text{vapor}} - T_{1}, \qquad \Delta T_{2} = T_{1} - T_{2}, \qquad \Delta T_{3} = T_{2} - T_{3}.
  • A queda total de temperatura entre o vapor de aquecimento e o último efeito é \Delta T_{\text{total}} = T_{\text{vapor}} - T_{3} = 108^\circ\mathrm{C} - 52^\circ\mathrm{C} = 56^\circ\mathrm{C}.
  • Como U_{1}\Delta T_{1} = U_{2}\Delta T_{2} = U_{3}\Delta T_{3} = k (constante comum, que é Q/A), temos \Delta T_{1}=\frac{k}{U_{1}},\quad \Delta T_{2}=\frac{k}{U_{2}},\quad \Delta T_{3}=\frac{k}{U_{3}}.
  • Somando: \Delta T_{1}+\Delta T_{2}+\Delta T_{3} = k\!\left(\frac{1}{U_{1}}+\frac{1}{U_{2}}+\frac{1}{U_{3}}\right) = \Delta T_{\text{total}}.
  • Logo k = \frac{\Delta T_{\text{total}}}{\dfrac{1}{U_{1}}+\dfrac{1}{U_{2}}+\dfrac{1}{U_{3}}}.

Passo 4

Cálculo numérico de k e das \Delta T_{i}:
  • Calcular a soma dos recíprocos:
    \frac{1}{U_{1}}+\frac{1}{U_{2}}+\frac{1}{U_{3}} = \frac{1}{2500}+\frac{1}{2000}+\frac{1}{1500}.
    Vamos calcular em frações:
    \frac{1}{2500}=\frac{1}{2500},\quad \frac{1}{2000}=\frac{1}{2000},\quad \frac{1}{1500}=\frac{1}{1500}.
    Um denominador comum é 30000, somando:
    \frac{1}{2500}+\frac{1}{2000}+\frac{1}{1500} = \frac{12}{30000}+\frac{15}{30000}+\frac{20}{30000} = \frac{47}{30000}.
  • Portanto
    k = \frac{56}{47/30000} = 56\cdot\frac{30000}{47} = \frac{1680000}{47}\approx 35744,68085.
    (Unidade de k é \mathrm{^\circ C}\cdot\mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C} simplificando para Q/A em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, mas aqui só precisamos dos valores numéricos.)
  • Agora cada \Delta T_{i}:
    \Delta T_{1}=\frac{k}{U_{1}}=\frac{1680000/47}{2500}=\frac{1680000}{117500}\approx 14,29787234^\circ\mathrm{C},
\Delta T_{2}=\frac{k}{U_{2}}=\frac{1680000/47}{2000}=\frac{1680000}{94000}\approx 17,87234043^\circ\mathrm{C},
\Delta T_{3}=\frac{k}{U_{3}}=\frac{1680000/47}{1500}=\frac{1680000}{70500}\approx 23,82978723^\circ\mathrm{C}.
Conferindo: 14,29787234+17,87234043+23,82978723\approx56^\circ\mathrm{C} (soma correta).

Passo 5

Calcular as temperaturas de ebulição T_{1} e T_{2}:
  • Usando T_{1} = T_{\text{vapor}} - \Delta T_{1}:
    T_{1} = 108^\circ\mathrm{C} - 14,29787234^\circ\mathrm{C} \approx 93,70212766^\circ\mathrm{C}.
  • Usando T_{2} = T_{1} - \Delta T_{2}:
    T_{2} = 93,70212766^\circ\mathrm{C} - 17,87234043^\circ\mathrm{C} \approx 75,82978723^\circ\mathrm{C}.
  • Arredondando para duas casas decimais (prática usual em engenharia):
    T_{1}\approx 93,70^\circ\mathrm{C},\qquad T_{2}\approx 75,83^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_{1}=93,70^\circ\mathrm{C}
T_{2}=75,83^\circ\mathrm{C}

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