Desenvolver expressões para o escoamento de um fluido entre duas placas paralelas verticais. As placas são separadas por uma distância 2 de. Considerar estado estacionário e fluido de densidade e viscosidade constantes. Incluir a diferença de pressão. Obter relações para:
  • distribuição de velocidade;
  • vazão volumétrica do fluido;
  • relacionar a velocidade média a velocidade máxima.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa analisar como um fluido se move entre duas placas verticais paralelas que estão separadas por uma distância de 2de. Vamos assumir que tudo tá estável (estado estacionário), e que a densidade e a viscosidade do fluido são constantes. Além disso, tem uma diferença de pressão agindo nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de dinâmica dos fluidos, especialmente a equação de Navier-Stokes simplificada para esse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nosso sistema de coordenadas. Vamos assumir que as placas são infinitas na direção vertical e que o fluxo ocorre na direção horizontal (digamos, no eixo x). A distância entre as placas é 2de, então podemos definir a coordenada y perpendicular às placas, variando de - de a +de.

Passo 3

Como estamos lidando com um escoamento laminar e estacionário, a velocidade do fluido só depende da posição y e varia apenas na direção x. Então, a equação de Navier-Stokes para a direção x, simplificada, fica:
d^2 udy^2 = 1mu dpdx
Aqui, u(y) é a velocidade na direção x, mu é a viscosidade do fluido, e dpdx é a diferença de pressão por unidade de comprimento.

Passo 4

Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de velocidade. A primeira integração nos dá:
dudy = 1mu dpdx y + C1
E a segunda integração resulta em:
u(y) = 12mu dpdx y^2 + C1 y + C2

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno. Sabemos que nas placas, a velocidade do fluido é zero (condição de não escorregamento). Então:
Para y = -de:
u(-de
Para y = +de:
u(de

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações acima, percebemos que C1 = 0 (pela simetria do problema) e C2 = -12mu dpdx de. Substituindo esses valores na equação de u(y), temos:
u(y) = 12mu dpdx (y^2 - de

Passo 7

Então, a distribuição de velocidade é parabólica, centrada no meio entre as placas. A velocidade máxima ocorre no meio, quando y = 0:
umax = 12mu dpdx (-de

Passo 8

Agora, vamos calcular a vazão volumétrica Q. Ela é a integração da velocidade sobre a área da seção:
Q = integral-de
Integrando, obtemos:
Q = 12mu dpdx [ y^33 - de

Passo 9

Por fim, vamos relacionar a velocidade média um à velocidade máxima umax. A velocidade média é a vazão dividida pela área:
um = Q2de
Comparando com umax:
um = umax3

Resposta

A distribuição de velocidade é dada por u(y) = 12mu dpdx (y^2 - de. A vazão volumétrica do fluido é Q = -de. Além disso, a velocidade média está relacionada à velocidade máxima por um = umax3.

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