Desenvolver expressões para o escoamento de um fluido entre duas placas paralelas verticais. As placas são separadas por uma distância
. Considerar estado estacionário e fluido de densidade e viscosidade constantes. Incluir a diferença de pressão. Obter relações para:
- distribuição de velocidade;
- vazão volumétrica do fluido;
- relacionar a velocidade média a velocidade máxima.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa analisar como um fluido se move entre duas placas verticais paralelas que estão separadas por uma distância de
. Vamos assumir que tudo tá estável (estado estacionário), e que a densidade e a viscosidade do fluido são constantes. Além disso, tem uma diferença de pressão agindo nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de dinâmica dos fluidos, especialmente a equação de Navier-Stokes simplificada para esse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nosso sistema de coordenadas. Vamos assumir que as placas são infinitas na direção vertical e que o fluxo ocorre na direção horizontal (digamos, no eixo x). A distância entre as placas é
, então podemos definir a coordenada y perpendicular às placas, variando de
a
.
Passo 3
Como estamos lidando com um escoamento laminar e estacionário, a velocidade do fluido só depende da posição y e varia apenas na direção x. Então, a equação de Navier-Stokes para a direção x, simplificada, fica:
Aqui,
é a velocidade na direção x,
é a viscosidade do fluido, e
é a diferença de pressão por unidade de comprimento.
Passo 4
Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de velocidade. A primeira integração nos dá:
E a segunda integração resulta em:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno. Sabemos que nas placas, a velocidade do fluido é zero (condição de não escorregamento). Então:
Para
:
Para
:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações acima, percebemos que
(pela simetria do problema) e
. Substituindo esses valores na equação de
, temos:
Passo 7
Então, a distribuição de velocidade é parabólica, centrada no meio entre as placas. A velocidade máxima ocorre no meio, quando
:
Passo 8
Agora, vamos calcular a vazão volumétrica
. Ela é a integração da velocidade sobre a área da seção:
Integrando, obtemos:
Passo 9
Por fim, vamos relacionar a velocidade média
à velocidade máxima
. A velocidade média é a vazão dividida pela área:
Comparando com
:
Resposta
A distribuição de velocidade é dada por
. A vazão volumétrica do fluido é
. Além disso, a velocidade média está relacionada à velocidade máxima por
.