Encontre o laplaciano dos seguintes campos escalares.
(ii) T(x, y, z)=sin x sin y sin z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o laplaciano do campo escalar $ T(x, y, z) = \sin x \sin y \sin z $. O laplaciano é uma operação matemática que envolve derivadas de segunda ordem e é muito usado em física e engenharia. Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas de $ T $ em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o laplaciano. Em coordenadas cartesianas, o laplaciano de uma função escalar $ T $ é dado pela soma das segundas derivadas parciais em relação a cada variável. Ou seja:
T
Isso significa que vamos calcular cada uma dessas derivadas e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de $ T $ em relação a $ x $. Diferenciando $ \sin x \sin y \sin z $ em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes:
T

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ T $ em relação a $ x $. Diferenciando novamente a expressão que obtivemos:
T

Passo 5

Vamos repetir o mesmo processo para a variável $ y $. Primeiro, a primeira derivada de $ T $ em relação a $ y $:
y

Passo 6

Agora, a segunda derivada de $ T $ em relação a $ y $:
T

Passo 7

Por último, vamos fazer o mesmo para a variável $ z $. Primeira derivada de $ T $ em relação a $ z $:
z
E a segunda derivada:
T

Resposta

Agora, somando as três segundas derivadas que calculamos:
nabla^2 T = -sin x sin y sin z - sin x sin y sin z - sin x sin y sin z = -3 sin x sin y sin z
Então, o laplaciano de $ T(x, y, z) = \sin x \sin y \sin z $ é:
T(x, y, z) = sin x sin y sin z

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