Seja um campo vetorial G dado por
G=2 x z^3 imath-12 x^2 sin y jmath-(x z^3+2 z cos y) k.
Calcule o divergente e o rotacional desse campo.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial dado por
G = 2xz^3 imath - 12x^2sin y jmath - (xz^3 + 2zcos y) k
E precisamos calcular duas coisas: o divergente e o rotacional desse campo. Para isso, vamos usar as definições de divergente e rotacional em cálculo vetorial, que envolvem derivadas parciais das componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de G. A fórmula para o divergente de um campo vetorial F = Fx imath + Fy jmath + Fz k é:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos aplicar isso ao campo G:
nabla cdot G = partialpartial x(2xz^3) + partialpartial y(-12x^2sin y) + partialpartial z(-xz^3 - 2zcos y)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. partialpartial x(2xz^3):
    • Derivando em relação a x, tratamos z como constante.
    • partialpartial x(2xz^3) = 2z^3
  2. partialpartial y(-12x^2sin y):
    • Derivando em relação a y, tratamos x como constante.
    • partialpartial y(-12x^2sin y) = -12x^2cos y
  3. partialpartial z(-xz^3 - 2zcos y):
    • Derivando em relação a z, tratamos x e y como constantes.
    • partialpartial z(-xz^3) = -3xz^2
    • partialpartial z(-2zcos y) = -2cos y
    • Então, partialpartial z(-xz^3 - 2zcos y) = -3xz^2 - 2cos y

Passo 4

Agora, somamos as derivadas parciais para obter o divergente:
nabla cdot G = 2z^3 - 12x^2cos y - 3xz^2 - 2cos y
Simplificando, podemos deixar assim ou fatorar alguns termos, mas essa forma já está correta.

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional de G. A fórmula para o rotacional de um campo vetorial F = Fx imath + Fy jmath + Fz k é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) imath + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) jmath + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos aplicar isso ao campo G:
nabla times G = ( partialpartial y(-xz^3 - 2zcos y) - partialpartial z(-12x^2sin y) ) imath
+ ( partialpartial z(2xz^3) - partialpartial x(-xz^3 - 2zcos y) ) jmath
+ ( partialpartial x(-12x^2sin y) - partialpartial y(2xz^3) ) k

Passo 6

Vamos calcular cada termo do rotacional:
  1. Componente imath:
    • partialpartial y(-xz^3 - 2zcos y) = 2zsin y
    • partialpartial z(-12x^2sin y) = 0 (pois não há z nessa expressão)
    • Então, a componente imath é 2zsin y - 0 = 2zsin y
  2. Componente jmath:
    • partialpartial z(2xz^3) = 6xz^2
    • partialpartial x(-xz^3 - 2zcos y) = -z^3
    • Então, a componente jmath é 6xz^2 - (-z^3) = 6xz^2 + z^3
  3. Componente k:
    • partialpartial x(-12x^2sin y) = -xsin y
    • partialpartial y(2xz^3) = 0 (pois não há y nessa expressão)
    • Então, a componente k é -xsin y - 0 = -xsin y

Passo 7

Juntando todas as componentes, o rotacional de G fica:
nabla times G = 2zsin y imath + (6xz^2 + z^3) jmath - xsin y k

Resposta

O divergente de G é:
nabla cdot G = 2z^3 - 12x^2cos y - 3xz^2 - 2cos y
E o rotacional de G é:
nabla times G = 2zsin y imath + (6xz^2 + z^3) jmath - xsin y k

Exercícios relacionados