Seja um campo vetorial
dado por
.
Calcule o divergente e o rotacional desse campo.
Calcule o divergente e o rotacional desse campo.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial dado por
E precisamos calcular duas coisas: o divergente e o rotacional desse campo. Para isso, vamos usar as definições de divergente e rotacional em cálculo vetorial, que envolvem derivadas parciais das componentes do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente de
. A fórmula para o divergente de um campo vetorial
é:
Vamos aplicar isso ao campo
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
-
: - Derivando em relação a
, tratamos como constante. -
- Derivando em relação a
-
: - Derivando em relação a
, tratamos como constante. -
- Derivando em relação a
-
: - Derivando em relação a
, tratamos e como constantes. -
-
- Então,
- Derivando em relação a
Passo 4
Agora, somamos as derivadas parciais para obter o divergente:
Simplificando, podemos deixar assim ou fatorar alguns termos, mas essa forma já está correta.
Passo 5
Agora, vamos calcular o rotacional de
. A fórmula para o rotacional de um campo vetorial
é:
Vamos aplicar isso ao campo
:
Passo 6
Vamos calcular cada termo do rotacional:
-
Componente
: -
-
(pois não há nessa expressão) - Então, a componente
é
-
-
Componente
: -
-
- Então, a componente
é
-
-
Componente
: -
-
(pois não há nessa expressão) - Então, a componente
é
-
Passo 7
Juntando todas as componentes, o rotacional de
fica:
Resposta
O divergente de
é:
E o rotacional de
é: