Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
Passo 1
O enunciado pede: desenvolver em série de Taylor e Maclaurin a função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Não há ponto de expansão explícito no enunciado; normalmente “Maclaurin” significa desenvolver em torno de
(Taylor em ), e “Taylor” refere-se à série em torno de um ponto genérico . - Não há figuras nem outras condições.
Passo 2
O que é uma série de Taylor / Maclaurin? Vou explicar de forma direta e prática.\n
Definição (fórmula): a série de Taylor de uma função centrada em
é
Definição (fórmula): a série de Taylor de uma função
onde
é a
-ésima derivada de
em
, e
é o fatorial de
(
,
,
, etc.).\n
Maclaurin é apenas o caso especial com :
Maclaurin é apenas o caso especial com
Aqui cada termo dá o coeficiente da potência
— é assim que construímos a série termo a termo.
Passo 3
Método prático que vou usar (explicando por que): em vez de calcular muitas derivadas de
, vamos aproveitar uma série conhecida e fazer substituições. A série de Maclaurin de
é bem básica e conhecida:
para todo
(essa série converge para todo
).\n
Se eu fizer a substituição , obtenho a série de
:
Se eu fizer a substituição
Aqui expliquei cada símbolo:
é o índice que soma
;
é o fatorial;
significa que ao substituir
as potências viram
.
Passo 4
Agora multiplico
por
para obter
. Sendo
substituindo a série de
temos
Como
é um polinômio, posso distribuir a multiplicação sobre a soma:
Expliquei o índice: cada termo original
é multiplicado por
, produzindo
. Esse é o formato em soma que já é uma série de Maclaurin (Taylor centrada em
).
Passo 5
Escrevendo os primeiros termos explícitos para ver a sequência:
Aqui eu gerei os primeiros termos substituindo
:
-
, -
, -
, etc.
Passo 6
Convergência e observações úteis para a prova:\n
- A série de
tem raio de convergência infinito, então também a série de converge para todo . Multiplicar por (polinômio) não muda o raio de convergência, logo a série que achamos converge para todo .\n - Maclaurin é a Taylor centrada em
. Se precisarem da série de Taylor centrada em outro ponto , a fórmula é
mas obter os coeficientes
diretamente exigiria calcular as derivadas em
(ou manipular
como
e expandir, que é mais trabalhoso). Para provas, quase sempre pedem Maclaurin quando a função tem termos como
, porque a técnica com substituição é simples e elegante.