Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
f(x)=x^{3} e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: desenvolver em série de Taylor e Maclaurin a função f(x)=x^{3} e^{x^{2}}.\n
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3} e^{x^{2}}.
  • Não há ponto de expansão explícito no enunciado; normalmente “Maclaurin” significa desenvolver em torno de 0 (Taylor em a=0), e “Taylor” refere-se à série em torno de um ponto genérico a.
  • Não há figuras nem outras condições.

Passo 2

O que é uma série de Taylor / Maclaurin? Vou explicar de forma direta e prática.\n
Definição (fórmula): a série de Taylor de uma função f centrada em a é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n},
onde f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f em a, e n! é o fatorial de n ( 0!=1, 1!=1, 2!=2, etc.).\n
Maclaurin é apenas o caso especial com a=0:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
Aqui cada termo dá o coeficiente da potência (x-a)^{n} — é assim que construímos a série termo a termo.

Passo 3

Método prático que vou usar (explicando por que): em vez de calcular muitas derivadas de f(x)=x^{3}e^{x^{2}}, vamos aproveitar uma série conhecida e fazer substituições. A série de Maclaurin de e^{t} é bem básica e conhecida:
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!},
para todo t\in\mathbb{R} (essa série converge para todo t).\n
Se eu fizer a substituição t=x^{2}, obtenho a série de e^{x^{2}}:
e^{x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^{2})^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}.
Aqui expliquei cada símbolo: n é o índice que soma 0,1,2,\dots; n! é o fatorial; x^{2n} significa que ao substituir t=x^{2} as potências viram x^{2n}.

Passo 4

Agora multiplico e^{x^{2}} por x^{3} para obter f(x). Sendo
f(x)=x^{3}e^{x^{2}},
substituindo a série de e^{x^{2}} temos
f(x)=x^{3}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}.
Como x^{3} é um polinômio, posso distribuir a multiplicação sobre a soma:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+3}}{n!}.
Expliquei o índice: cada termo original \frac{x^{2n}}{n!} é multiplicado por x^{3}, produzindo \frac{x^{2n+3}}{n!}. Esse é o formato em soma que já é uma série de Maclaurin (Taylor centrada em 0).

Passo 5

Escrevendo os primeiros termos explícitos para ver a sequência:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+3}}{n!} = x^{3} + x^{5} + \frac{x^{7}}{2!} + \frac{x^{9}}{3!} + \frac{x^{11}}{4!} + \cdots.
Aqui eu gerei os primeiros termos substituindo n=0,1,2,3,\dots:
  • n=0\Rightarrow \dfrac{x^{3}}{0!}=x^{3},
  • n=1\Rightarrow \dfrac{x^{5}}{1!}=x^{5},
  • n=2\Rightarrow \dfrac{x^{7}}{2!}, etc.

Passo 6

Convergência e observações úteis para a prova:\n
  • A série de e^{t} tem raio de convergência infinito, então também a série de e^{x^{2}} converge para todo x. Multiplicar por x^{3} (polinômio) não muda o raio de convergência, logo a série que achamos converge para todo x\in\mathbb{R}.\n
  • Maclaurin é a Taylor centrada em 0. Se precisarem da série de Taylor centrada em outro ponto a, a fórmula é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n},
mas obter os coeficientes \frac{f^{(n)}(a)}{n!} diretamente exigiria calcular as derivadas em a (ou manipular e^{x^{2}} como e^{a^{2}}e^{2a(x-a)}e^{(x-a)^{2}} e expandir, que é mais trabalhoso). Para provas, quase sempre pedem Maclaurin quando a função tem termos como e^{x^{2}}, porque a técnica com substituição é simples e elegante.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+3}}{n!}
f(x)=x^{3}+x^{5}+\frac{x^{7}}{2!}+\frac{x^{9}}{3!}+\frac{x^{11}}{4!}+\cdots

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