Desigualdade de Cauchy-Schwarz Utilize a definição geométrica do produto escalar para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição geométrica do produto escalar, que para quaisquer vetores
e
em
vale
O conteúdo aqui é a definição geométrica do produto escalar e a propriedade de que o cosseno de um ângulo está entre
-1 e
1 .
Passo 2
Relembramos a definição geométrica do produto escalar: se
theta é o ângulo entre
a e
b , então
Essa relação expressa o produto escalar em termos dos comprimentos dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles.
Passo 3
Sabemos da trigonometria básica que
Tomando valor absoluto na definição geométrica, obtemos
Passo 4
Como
l|costhetar|<=1 , segue imediatamente que
Isso estabelece a desigualdade de Cauchy–Schwarz.