Desigualdade de Cauchy-Schwarz Utilize a definição geométrica do produto escalar para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
|a cdot b| <=|a||b|

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição geométrica do produto escalar, que para quaisquer vetores a e b em R^n vale
l|acdotbr|<=|a|;|b|
O conteúdo aqui é a definição geométrica do produto escalar e a propriedade de que o cosseno de um ângulo está entre -1 e 1.

Passo 2

Relembramos a definição geométrica do produto escalar: se theta é o ângulo entre a e b, então
acdotb=|a|;|b|costheta
Essa relação expressa o produto escalar em termos dos comprimentos dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Sabemos da trigonometria básica que
-1<=costheta<=1 Longrightarrow l|costhetar|<=1
Tomando valor absoluto na definição geométrica, obtemos
l|acdotbr| =|a|;|b|;l|costhetar|

Passo 4

Como l|costhetar|<=1, segue imediatamente que
l|acdotbr| <=|a|;|b|times1 =|a|;|b|
Isso estabelece a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Resposta

l|acdotbr|<=|a|;|b|

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