Seja
o conjunto das formas bilineares em
sobre
. Demonstre:
Se
e
são funcionais lineares em
, então
pertence a
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
é uma forma bilinear, ou seja, para cada vetor fixo em uma das coordenadas
deve ser linear na outra. Vamos usar a definição de bilinearidade:
– Para cada , o mapa
deve ser funcional linear em
.
– Para cada , o mapa
deve ser funcional linear em
.
Como e
são funcionais lineares em
, vamos explorar diretamente as propriedades de aditividade e homogeneidade.
– Para cada
– Para cada
Como
Passo 2
Mostramos que
é linear na primeira variável. Seja
fixo, tomemos
e
. Usando a definição,
Portanto, para cada
fixo,
é linear.
Passo 3
Análogo à primeira variável, mostramos linearidade em
. Seja
fixo, tomemos
e
. Então
Logo, para cada
fixo,
é linear.
Resposta
Concluímos que
é linear em cada argumento, ou seja,
é uma forma bilinear em
. Portanto
.