Seja B(V) o conjunto das formas bilineares em V sobre K. Demonstre:
Se phi e sigma são funcionais lineares em V, então f(u, v)=phi(u) sigma(v) pertence a B(V).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
fcolon Vtimes VtoK, f(u,v)=phi(u),sigma(v)
é uma forma bilinear, ou seja, para cada vetor fixo em uma das coordenadas f deve ser linear na outra. Vamos usar a definição de bilinearidade:
– Para cada vin V, o mapa umapsto f(u,v) deve ser funcional linear em u.
– Para cada uin V, o mapa vmapsto f(u,v) deve ser funcional linear em v.
Como phi e sigma são funcionais lineares em V, vamos explorar diretamente as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Mostramos que f é linear na primeira variável. Seja vin V fixo, tomemos u1,u2in V e cinK. Usando a definição,
f(u1+u2,v) =phi(u1+u2),sigma(v) =(phi(u1)+phi(u2)),sigma(v) =phi(u1),sigma(v)+phi(u2),sigma(v) =f(u1,v)+f(u2,v),
f(c,u1,v) =phi(c,u1),sigma(v) =(c,phi(u1)),sigma(v) =cl(phi(u1),sigma(v)r) =c,f(u1,v)
Portanto, para cada v fixo, umapsto f(u,v) é linear.

Passo 3

Análogo à primeira variável, mostramos linearidade em v. Seja uin V fixo, tomemos v1,v2in V e dinK. Então
f(u,v1+v2) =phi(u),sigma(v1+v2) =phi(u),(sigma(v1)+sigma(v2)) =phi(u),sigma(v1)+phi(u),sigma(v2) =f(u,v1)+f(u,v2),
f(u,d,v1) =phi(u),sigma(d,v1) =phi(u),(d,sigma(v1)) =dl(phi(u),sigma(v1)r) =d,f(u,v1)
Logo, para cada u fixo, vmapsto f(u,v) é linear.

Resposta

Concluímos que f é linear em cada argumento, ou seja, f é uma forma bilinear em V. Portanto fin B(V).

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