Sejam
um espaço vetorial sobre
. Sejam
e considere
dada por
(a) Mostre que
é uma forma bilinear anti-simétrica.
(b) Mostre que
se e somente se existe
tal que
.
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado define um espaço vetorial
sobre
, duas formas lineares
e a aplicação bilinear
Precisamos mostrar:
-
é bilinear em cada argumento e anti-simétrica. -
se e somente se existe tal que .
Passo 2
Mostramos a linearidade em cada componente usando a linearidade de
e
. Fixe
.
Para :
Para
Para
:
O mesmo raciocínio vale no segundo argumento, mostrando que
é bilinear.
Passo 3
Verificamos a anti-simetria: para quaisquer
,
Em particular
.
Passo 4
Parte (b), direção “
”: se existe
tal que
, então
para todo
.
Passo 5
Parte (b), direção “
”: suponha
. Então
Se
, então
e basta escolher
para ter
.
Se não é identicamente zero, existe
tal que
.
Se
Passo 6
Defina
Da igualdade
segue
e como
temos
ou seja,
.
Resposta
(a)
é bilinear em cada argumento e satisfaz
, logo é uma forma bilinear anti-simétrica.
(b) se e somente se existe
tal que
.
(b)