Sejam V um espaço vetorial sobre K. Sejam h, g in V^* e considere f: V times V K dada por
f(u, v)=h(u) g(v)-h(v) g(u)
(a) Mostre que f é uma forma bilinear anti-simétrica.
(b) Mostre que f=0 se e somente se existe lambda in K tal que h=lambda g.

Passo 1

O enunciado define um espaço vetorial V sobre K, duas formas lineares h,gin V^* e a aplicação bilinear
fcolon Vtimes VtoK, f(u,v)=h(u),g(v)-h(v),g(u)
Precisamos mostrar:
  1. f é bilinear em cada argumento e anti-simétrica.
  2. fequiv0 se e somente se existe lambdainK tal que h=lambda,g.

Passo 2

Mostramos a linearidade em cada componente usando a linearidade de h e g. Fixe vin V.
Para u1,u2in V:
f(u1+u2,v) = h(u1+u2),g(v)-h(v),g(u1+u2) = l[h(u1)+h(u2)r]g(v)-h(v)l[g(u1)+g(u2)r]
= l[h(u1)g(v)-h(v)g(u1)r]+l[h(u2)g(v)-h(v)g(u2)r] = f(u1,v)+f(u2,v)
Para alphainK:
f(alpha u,v) = h(alpha u),g(v)-h(v),g(alpha u) = alpha,h(u),g(v)-h(v),alpha,g(u) = alpha,f(u,v)
O mesmo raciocínio vale no segundo argumento, mostrando que f é bilinear.

Passo 3

Verificamos a anti-simetria: para quaisquer u,vin V,
f(v,u)=h(v),g(u)-h(u),g(v) =-l[h(u),g(v)-h(v),g(u)r] =-f(u,v)
Em particular f(u,u)=0.

Passo 4

Parte (b), direção “ Rightarrow”: se existe lambda tal que h=lambda,g, então
f(u,v) = l[lambda,g(u)r]g(v)-l[lambda,g(v)r]g(u) =lambdal[g(u)g(v)-g(v)g(u)r]=0
para todo u,v.

Passo 5

Parte (b), direção “ Leftarrow”: suponha fequiv0. Então
h(u),g(v)=h(v),g(u) forall,u,vin V
Se gequiv0, então fequiv0 e basta escolher lambda=0 para ter h=0cdot g.
Se g não é identicamente zero, existe v tal que g(v)neq0.

Passo 6

Defina
lambda = h(v)g(v)
Da igualdade h(u),g(v)=h(v),g(u) segue
h(u),g(v)=lambda,g(v),g(u),
e como g(v)neq0 temos
h(u)=lambda,g(u) forall,uin V,
ou seja, h=lambda,g.

Resposta

(a) f é bilinear em cada argumento e satisfaz f(v,u)=-f(u,v), logo é uma forma bilinear anti-simétrica.
(b) fequiv0 se e somente se existe lambdainK tal que h=lambda,g.

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