As desigualdades abaixo envolvem produtos e quocientes e podem ser resolvidas por meio do estudo do sinal, como na Questão 1. Resolva as desigualdades.
(2 x-1)\left(x^{2}-4\right) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
(2x-1)\left(x^{2}-4\right)\leq 0.
Informações dadas pelo enunciado (retiradas diretamente da expressão):
  • O produto é formado pelos fatores \,2x-1\, e \,x^{2}-4\,.
  • O fator \,2x-1=0\, quando x=\tfrac{1}{2}.
  • O fator \,x^{2}-4\, pode ser fatorado como \,(x-2)(x+2)\, e zera em x=2 e x=-2.

Passo 2

Como resolver (explicação didática e regra que vamos usar).
  • Uma produto de fatores é menor ou igual a zero quando ele é negativo ou igual a zero.
  • Os pontos onde cada fator é zero (aqui x=-2, x=\tfrac{1}{2} e x=2) dividem a reta real em intervalos; dentro de cada intervalo o sinal de cada fator é constante.
  • Como cada fator aqui é linear ou produto de lineares com multiplicidade 1, o sinal de cada fator muda ao passar por cada zero (isto é, mudança de sinal em cada raiz de multiplicidade ímpar).
  • Então o procedimento é: listar os pontos críticos, escolher um ponto-teste em cada intervalo e determinar o sinal do produto nesses pontos.

Passo 3

Ordenar os pontos críticos e definir intervalos.
  • Os pontos críticos em ordem crescente são
-2,\quad \tfrac{1}{2},\quad 2.
  • Os intervalos determinados por esses pontos são
(-\infty,-2),\quad (-2,\tfrac{1}{2}),\quad (\tfrac{1}{2},2),\quad (2,\infty).

Passo 4

Escolher um ponto-teste em cada intervalo e calcular sinais dos fatores.
Vou escolher os pontos-teste x=-3, x=0, x=1 e x=3.
Intervalo (- \infty,-2), teste x=-3:
2x-1=2(-3)-1=-7\quad(\text{negativo}),
x^{2}-4=(-3)^{2}-4=9-4=5\quad(\text{positivo}).
Produto: negativo \times positivo = negativo.
Intervalo (-2,\tfrac{1}{2}), teste x=0:
2x-1=2(0)-1=-1\quad(\text{negativo}),
x^{2}-4=0^{2}-4=-4\quad(\text{negativo}).
Produto: negativo \times negativo = positivo.
Intervalo (\tfrac{1}{2},2), teste x=1:
2x-1=2(1)-1=1\quad(\text{positivo}),
x^{2}-4=1^{2}-4=-3\quad(\text{negativo}).
Produto: positivo \times negativo = negativo.
Intervalo (2,\infty), teste x=3:
2x-1=2(3)-1=5\quad(\text{positivo}),
x^{2}-4=3^{2}-4=9-4=5\quad(\text{positivo}).
Produto: positivo \times positivo = positivo.

Passo 5

Interpretação dos resultados e consideração dos zeros.
  • O produto é negativo nos intervalos (- \infty,-2) e (\tfrac{1}{2},2).
  • O produto é positivo no intervalo (-2,\tfrac{1}{2}) e em (2,\infty).
  • Nos pontos x=-2, x=\tfrac{1}{2} e x=2 o produto é zero. Como a desigualdade é \leq 0, devemos incluir esses pontos na solução.

Resposta

(-\infty,-2]\cup\left[\tfrac{1}{2},2\right]

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