As desigualdades abaixo envolvem produtos e quocientes e podem ser resolvidas por meio do estudo do sinal, como na Questão 1. Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações dadas pelo enunciado (retiradas diretamente da expressão):
- O produto é formado pelos fatores
e . - O fator
quando . - O fator
pode ser fatorado como e zera em e .
Passo 2
Como resolver (explicação didática e regra que vamos usar).
- Uma produto de fatores é menor ou igual a zero quando ele é negativo ou igual a zero.
- Os pontos onde cada fator é zero (aqui
, e ) dividem a reta real em intervalos; dentro de cada intervalo o sinal de cada fator é constante. - Como cada fator aqui é linear ou produto de lineares com multiplicidade 1, o sinal de cada fator muda ao passar por cada zero (isto é, mudança de sinal em cada raiz de multiplicidade ímpar).
- Então o procedimento é: listar os pontos críticos, escolher um ponto-teste em cada intervalo e determinar o sinal do produto nesses pontos.
Passo 3
Ordenar os pontos críticos e definir intervalos.
- Os pontos críticos em ordem crescente são
- Os intervalos determinados por esses pontos são
Passo 4
Escolher um ponto-teste em cada intervalo e calcular sinais dos fatores.
Vou escolher os pontos-teste ,
,
e
.
Vou escolher os pontos-teste
Intervalo
, teste
:
Produto: negativo
positivo
negativo.
Intervalo
, teste
:
Produto: negativo
negativo
positivo.
Intervalo
, teste
:
Produto: positivo
negativo
negativo.
Intervalo
, teste
:
Produto: positivo
positivo
positivo.
Passo 5
Interpretação dos resultados e consideração dos zeros.
- O produto é negativo nos intervalos
e . - O produto é positivo no intervalo
e em . - Nos pontos
, e o produto é zero. Como a desigualdade é , devemos incluir esses pontos na solução.