Calcule os limites laterais indicados.
lim _{x \rightarrow-1^{+}} \frac{3 x^{2}-4}{1-x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral pela direita
\lim_{x\to -1^{+}} \frac{3x^{2}-4}{1-x^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é a razão \dfrac{3x^{2}-4}{1-x^{2}}.
  • O denominador \,1-x^{2}\, anula-se em x=1 e em x=-1.
  • Estamos aproximando x de -1 vindo pela direita (valores como -0,99,\,-0,9, etc.).
  • Não há outras informações fornecidas.

Passo 2

Verificação por substituição direta para ver o tipo de situação:
\text{numerador em }x=-1:\quad 3(-1)^{2}-4=3\cdot1-4=-1,
\text{denominador em }x=-1:\quad 1-(-1)^{2}=1-1=0.
Portanto, ao substituir x=-1 obtém-se uma expressão do tipo “não nulo sobre zero” (numerador tende a -1, denominador tende a 0). Esse tipo de situação geralmente indica que o quociente tende a um valor com módulo arbitrariamente grande (tende a \pm\infty), e o sinal depende do sinal do numerador e do sinal do denominador quando x se aproxima de -1 pela direita.

Passo 3

Análise do sinal do denominador próximo de x=-1. Fatoramos o denominador:
1-x^{2}=(1-x)(1+x).
Para x\to -1^{+} (isto é, x=-1+h com h>0 pequeno):
  • 1+x\to 0^{+} porque x está um pouco maior que -1.
  • 1-x em x=-1 vale 1-(-1)=2, e para valores próximos permanece positivo (aproximadamente 2).
    Logo, para x vindo da direita de -1, o produto (1-x)(1+x) é um número pequeno e positivo: 1-x>0 e 1+x\to0^{+} 1-x^{2}\to 0^{+}.

Passo 4

Análise do numerador próximo de x=-1:
3x^{2}-4
em x=-1 vale -1 e, para x próximos de -1, o numerador permanece próximo de -1 e, portanto, é negativo (por exemplo para x=-0,99 ou x=-0,9 ele é negativo). Assim:
  • numerador \approx -1 (negativo),
  • denominador \to 0^{+} (positivo pequeno).
Isso significa que a fração tem sinal negativo e módulo que cresce sem limite quando x se aproxima de -1 pela direita.

Passo 5

Verificação numérica rápida para fixar a intuição (valores tirados para ilustrar; todos em notação decimal com vírgula):
x=-0,9:\quad \frac{3x^{2}-4}{1-x^{2}}=\frac{3\cdot 0,81-4}{1-0,81}=\frac{-1,57}{0,19}\approx -8,263.
x=-0,99:\quad \frac{3x^{2}-4}{1-x^{2}}=\frac{3\cdot 0,9801-4}{1-0,9801}=\frac{-1,0597}{0,0199}\approx -53,25.
Ao aproximar x mais de -1 vindo pela direita, o valor da expressão fica cada vez mais negativo em módulo cada vez maior, confirmando a análise anterior.

Passo 6

Conclusão do comportamento do limite com base na análise de sinais e na verificação numérica: a expressão tende a valores negativos de grande magnitude sem limite superior em módulo quando x\to -1^{+}.

Resposta

-\infty

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