Calcule os seguintes limites no infinito:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende para
da expressão
Ou seja, queremos
Informações dadas: a função é um polinômio de grau
com termos constantes e potências de
.
Passo 2
Ideia geral (explicada passo a passo): para polinômios o comportamento no infinito é dominado pelo termo de maior grau. Vou expor isso de forma clara e justificar sem pular etapas.
Considere um polinômio genérico
onde
é o coeficiente do termo de maior grau
(com
). Para estudar
uma técnica padrão é fatorar
(o maior poder) e escrever
Aqui:
-
é a parte que cresce para quando (pois é inteiro não-negativo); - cada fração
tende para quando (porque o denominador cresce sem limite); - portanto o parêntese tende para
. Assim o comportamento de para é essencialmente o comportamento de : se então ; se então .
Passo 3
Aplicando ao nosso polinômio: o termo de maior grau é
. Logo:
- o grau
é ; - o coeficiente líder
é (pois o termo de maior grau é ).
Passo 4
Fatoramos
da expressão para ver claramente o limite:
Dentro dos parênteses cada termo com
no denominador tende a
quando
. Portanto
Passo 5
Agora juntamos as partes: para
temos
e o parêntese tende para
. Assim o produto tende para
Em palavras: o termo
domina o polinômio para grandes
, empurrando o valor para
.
Passo 6
Verificação rápida por ideia numérica (para intuir): para
o termo
já é
, muito maior em magnitude que os outros termos; conforme
cresce mais, essa dominance aumenta, confirmando a conclusão anterior.