Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(5-4 x+x^{2}-x^{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende para +\infty da expressão
5 - 4x + x^{2} - x^{5}.
Ou seja, queremos
\lim_{x\to +\infty}\left(5 - 4x + x^{2} - x^{5}\right).
Informações dadas: a função é um polinômio de grau 5 com termos constantes e potências de x.

Passo 2

Ideia geral (explicada passo a passo): para polinômios o comportamento no infinito é dominado pelo termo de maior grau. Vou expor isso de forma clara e justificar sem pular etapas.
Considere um polinômio genérico
p(x)=a_n x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0,
onde a_n é o coeficiente do termo de maior grau n (com a_n\neq 0). Para estudar \lim_{x\to+\infty}p(x) uma técnica padrão é fatorar x^n (o maior poder) e escrever
p(x)=x^{n}\left(a_n + \frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\frac{a_0}{x^{n}}\right).
Aqui:
  • x^{n} é a parte que cresce para +\infty quando x\to+\infty (pois n é inteiro não-negativo);
  • cada fração \dfrac{a_k}{x^{n-k}} tende para 0 quando x\to+\infty (porque o denominador cresce sem limite);
  • portanto o parêntese tende para a_n. Assim o comportamento de p(x) para x\to+\infty é essencialmente o comportamento de a_n x^n: se a_n>0 então p(x)\to+\infty; se a_n<0 então p(x)\to-\infty.

Passo 3

Aplicando ao nosso polinômio: o termo de maior grau é -x^{5}. Logo:
  • o grau n é 5;
  • o coeficiente líder a_n é -1 (pois o termo de maior grau é -1\cdot x^{5}).

Passo 4

Fatoramos x^{5} da expressão para ver claramente o limite:
5 - 4x + x^{2} - x^{5} = x^{5}\left(\frac{5}{x^{5}} - \frac{4}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}} - 1\right).
Dentro dos parênteses cada termo com x no denominador tende a 0 quando x\to+\infty. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{5}{x^{5}} - \frac{4}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}} - 1\right) = -1.

Passo 5

Agora juntamos as partes: para x\to+\infty temos x^{5}\to+\infty e o parêntese tende para -1. Assim o produto tende para
+\infty \times (-1) = -\infty.
Em palavras: o termo -x^{5} domina o polinômio para grandes x, empurrando o valor para -\infty.

Passo 6

Verificação rápida por ideia numérica (para intuir): para x=10 o termo -x^{5} já é -100000, muito maior em magnitude que os outros termos; conforme x cresce mais, essa dominance aumenta, confirmando a conclusão anterior.

Resposta

-\infty

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