Um deslocamento possui módulo s_{1}=30 \mathrm{~cm}. Outro deslocamento possui módulo s_{2}=40 \mathrm{~cm}. (a) Calcule o módulo do deslocamento resultante supondo que os deslocamentos componentes sejam perpendiculares entre si. (b) Se o módulo de \vec{s} for igual a 70 cm , qual será a orientação relativa dos deslocamentos? (c) E se o módulo do deslocamento resultante for igual a 10 cm ? (d) Calcule a orientação relativa dos dois deslocamentos, s_{1} e s_{2}, se o módulo do deslocamento resultante for igual a 20 cm . (e) Calcule a orientação relativa dos dois deslocamentos, \mathrm{s}_{1} e \mathrm{s}_{2}, se o módulo do deslocamento resultante for igual a 65 cm .

Passo 1

Temos dois deslocamentos de módulos s_{1}=30,cm e s_{2}=40,cm e queremos (a) o módulo do resultante quando são perpendiculares e (b)–(e) a orientação relativa (ângulo \varphi entre eles) para vários valores do resultante \vec s. Vamos usar a fórmula do módulo do somatório de vetores e, quando não forem perpendiculares, a Lei dos Cossenos:
s^{2}=s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+2\,s_{1}\,s_{2}\cos\varphi.

Passo 2

(a) Se \vec s_{1}\perp\vec s_{2}, então \cos\varphi=0 e
s=\sqrt{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}} =\sqrt{30^{2}+40^{2}} =\sqrt{900+1600} =50\text{ cm}.

Passo 3

(b) Se o resultante s=70,cm, aplicamos a Lei dos Cossenos:
70^{2}=30^{2}+40^{2}+2\cdot30\cdot40\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad 4900=2500+2400\cos\varphi
2400\cos\varphi=2400 \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi=1 \quad\Longrightarrow\quad \varphi=0^\circ.
Isto significa que os deslocamentos estão alinhados no mesmo sentido.

Passo 4

(c) Se s=10,cm, a Lei dos Cossenos dá
10^{2}=30^{2}+40^{2}+2\cdot30\cdot40\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad 100=2500+2400\cos\varphi
2400\cos\varphi=-2400 \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi=-1 \quad\Longrightarrow\quad \varphi=180^\circ.
Isto corresponde a vetores antiparalelos.

Passo 5

(d) Se s=20,cm, temos
20^{2}=2500+2400\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad 400=2500+2400\cos\varphi
2400\cos\varphi=-2100 \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi=-0{,}875 \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\operatorname{arccos}(-0{,}875)\approx150{,}5^\circ.

Passo 6

(e) Se s=65,cm, segue
65^{2}=2500+2400\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad 4225=2500+2400\cos\varphi
2400\cos\varphi=1725 \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi=0{,}71875 \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}71875)\approx44^\circ.

Resposta

(a) 50,cm
(b) \varphi=0^\circ (mesmo sentido)
(c) \varphi=180^\circ (sentidos opostos)
(d) \varphi\approx150{,}5^\circ
(e) \varphi\approx44^\circ

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