Qual dessas duas equações são dimensionalmente homogêneas?
Passo 1
O que o enunciado pede: identificar quais das duas equações são dimensionalmente homogêneas (ou seja, verificar se todos os termos de cada equação têm a mesma dimensão/unidade).
Informações dadas (peguei-as diretamente das fórmulas do enunciado):
- Equação 1:
onde as anotações entre parênteses indicam as unidades de cada variável. - Equação 2:
também com unidades indicadas entre parênteses.
O objetivo agora é verificar, termo a termo, as unidades em cada equação e ver se todos coincidem com a unidade do lado esquerdo.
Passo 2
Breve explicação didática sobre homogeneidade dimensional (sem pular etapas):
- Uma equação física é dimensionalmente homogênea se todos os termos somados (ou comparados) têm exatamente as mesmas dimensões (mesmas unidades fundamentais: massa
, comprimento , tempo , …). - Para checar, pega-se a unidade de cada termo e usa-se as regras de álgebra de unidades: ao multiplicar unidades, multiplicam-se as dimensões; ao dividir, cancelam-se as partes correspondentes.
- Fatores numéricos puros (como
, , etc.) são adimensionais e não afetam a dimensão. - Fatores de conversão (ex.:
ou ) carregam unidades e servem para transformar unidades; eles devem ser tratados como qualquer outro fator com unidades na conta dimensional.
Agora aplico essa verificação termo a termo nas duas equações.
Passo 3
Análise detalhada da Equação 1, termo a termo.
Escrevendo novamente em notação de unidades:
-
Lado esquerdo:
tem unidade (comprimento). -
Primeiro termo do lado direito:
tem unidade . OK. -
Segundo termo do lado direito: analisar a unidade deConsiderando apenas as unidades, temos a multiplicaçãoAgora cancelar as unidades que aparecem no numerador e denominador:O fator numérico
é adimensional? Não: ele tem a unidade indicada , e já foi usada acima. Após o cancelamento, o produto tem unidade . Portanto o segundo termo tem unidade , compatível com . -
Terceiro termo do lado direito: analisarConsiderando apenas as unidades:O coeficiente
é adimensional e não altera a dimensão. Assim o terceiro termo também tem unidade .
Conclusão da análise da equação 1: todos os termos do lado direito têm unidade
, igual ao lado esquerdo. Portanto a Equação 1 é dimensionalmente homogênea.
Passo 4
Comentário didático curto sobre o que aconteceu na Equação 1 (dicas para a prova):
- Sempre importe os fatores de conversão com suas unidades. Ex.:
não é “só um número”, é um fator com unidades que permite cancelar . - Quando ver termos do tipo velocidade
tempo, verifique se as unidades de comprimento/tempo e tempo se cancelam corretamente para dar comprimento, lembrando de aplicar fatores de conversão quando a velocidade estiver em unidades diferentes (ft/s vs m/s). - Se for fazer à mão na prova, escreva apenas as unidades e faça cancelamentos como mostrei; isso evita erros.
Passo 5
Análise detalhada da Equação 2, termo a termo.
Reescrevendo:
-
Lado esquerdo:
com unidade indicada . Essa é, de fato, a unidade de pressão no SI (porque ). Então a unidade alvo para os termos do lado direito é . -
Primeiro termo do lado direito:Tratar as unidades passo a passo:
-
. - Em seguida,
. - Portanto, todo o produto resulta em unidade
, que coincide com a unidade de no lado esquerdo. - Observação: o fator numérico
é a magnitude da conversão (Pa por atm) — tratá-lo como número não muda as unidades já canceladas como acima.
-
-
Segundo termo do lado direito:Multiplicando unidades:Essa unidade é
, que em termos de potências básicas é .
Comparando com a unidade de pressão: as potências de e são diferentes. Logo, o segundo termo NÃO tem a mesma dimensão que o lado esquerdo. -
Conclusão parcial: o primeiro termo do RHS tem unidade de pressão (compatível com o LHS), mas o segundo termo tem unidade diferente. Assim a soma dos dois termos do RHS mistura unidades distintas; consequentemente a equação 2, tal como escrita, NÃO é dimensionalmente homogênea.
Passo 6
Observação final e dica prática:
- Em muitos contextos físicos aparece o produto
(por exemplo pressão dinâmica) e não . Note que que daria unidade de pressão. Portanto, se no enunciado tivesse em vez de , a equação poderia ficar homogênea. Essa é uma boa verificação rápida na prova: compare potências de e e veja se correspondem.
Resposta
Equação 1: dimensionalmente homogênea.
Equação 2: não é dimensionalmente homogênea.
Equação 2: não é dimensionalmente homogênea.