Qual dessas duas equações são dimensionalmente homogêneas?
\begin{aligned} x(m) & =x_{0}(m)+0,3048(m / f t) v(f t / s) t(s)+0,5000 a\left(m / s^{2}\right) t\left(s^{2}\right) \\ p\left(\mathrm{~kg} / \mathrm{m} \mathrm{~s}^{2}\right) & =101,325(\mathrm{~Pa} / \mathrm{atm})\left[\left(\mathrm{kg} / \mathrm{m} \mathrm{~s}^{2}\right) / \mathrm{Pa}\right] p_{0}(\mathrm{~atm})+\rho\left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right) v(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede: identificar quais das duas equações são dimensionalmente homogêneas (ou seja, verificar se todos os termos de cada equação têm a mesma dimensão/unidade).
Informações dadas (peguei-as diretamente das fórmulas do enunciado):
  • Equação 1: x(\text{m}) = x_{0}(\text{m}) + 0,3048\left(\frac{\text{m}}{\text{ft}}\right)\,v\left(\frac{\text{ft}}{\text{s}}\right)\,t(\text{s}) + 0,5000\,a\left(\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\right)\,t\left(\text{s}^{2}\right)onde as anotações entre parênteses indicam as unidades de cada variável.
  • Equação 2: p\left(\frac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}}\right) = 101325\left(\frac{\text{Pa}}{\text{atm}}\right)\left[\left(\frac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}}\right)/\text{Pa}\right]p_{0}(\text{atm}) + \rho\left(\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}\right)\,v\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)também com unidades indicadas entre parênteses.
O objetivo agora é verificar, termo a termo, as unidades em cada equação e ver se todos coincidem com a unidade do lado esquerdo.

Passo 2

Breve explicação didática sobre homogeneidade dimensional (sem pular etapas):
  • Uma equação física é dimensionalmente homogênea se todos os termos somados (ou comparados) têm exatamente as mesmas dimensões (mesmas unidades fundamentais: massa M, comprimento L, tempo T, …).
  • Para checar, pega-se a unidade de cada termo e usa-se as regras de álgebra de unidades: ao multiplicar unidades, multiplicam-se as dimensões; ao dividir, cancelam-se as partes correspondentes.
  • Fatores numéricos puros (como 0,5, 2, etc.) são adimensionais e não afetam a dimensão.
  • Fatores de conversão (ex.: 0,3048\,\text{m/ft} ou 101325\,\text{Pa/atm}) carregam unidades e servem para transformar unidades; eles devem ser tratados como qualquer outro fator com unidades na conta dimensional.
Agora aplico essa verificação termo a termo nas duas equações.

Passo 3

Análise detalhada da Equação 1, termo a termo.
Escrevendo novamente em notação de unidades:
x(\text{m}) = x_{0}(\text{m}) + 0,3048\left(\frac{\text{m}}{\text{ft}}\right)\,v\left(\frac{\text{ft}}{\text{s}}\right)\,t(\text{s}) + 0,5000\,a\left(\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\right)\,t\left(\text{s}^{2}\right).
  • Lado esquerdo: x(\text{m}) tem unidade \text{m} (comprimento).
  • Primeiro termo do lado direito: x_{0}(\text{m}) tem unidade \text{m}. OK.
  • Segundo termo do lado direito: analisar a unidade de
    0,3048\left(\frac{\text{m}}{\text{ft}}\right)\,v\left(\frac{\text{ft}}{\text{s}}\right)\,t(\text{s}).
    Considerando apenas as unidades, temos a multiplicação
    \left(\frac{\text{m}}{\text{ft}}\right)\cdot\left(\frac{\text{ft}}{\text{s}}\right)\cdot(\text{s}).
    Agora cancelar as unidades que aparecem no numerador e denominador:
    \left(\frac{\text{m}}{\cancel{\text{ft}}}\right)\cdot\left(\frac{\cancel{\text{ft}}}{\text{s}}\right)\cdot(\text{s}) = \text{m}\cdot\frac{1}{\text{s}}\cdot\text{s} = \text{m}.
    O fator numérico 0,3048 é adimensional? Não: ele tem a unidade indicada \text{m/ft}, e já foi usada acima. Após o cancelamento, o produto tem unidade \text{m}. Portanto o segundo termo tem unidade \text{m}, compatível com x.
  • Terceiro termo do lado direito: analisar
    0,5000\,a\left(\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\right)\,t\left(\text{s}^{2}\right).
    Considerando apenas as unidades:
    \left(\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\right)\cdot(\text{s}^{2}) = \text{m}.
    O coeficiente 0,5000 é adimensional e não altera a dimensão. Assim o terceiro termo também tem unidade \text{m}.
Conclusão da análise da equação 1: todos os termos do lado direito têm unidade \text{m}, igual ao lado esquerdo. Portanto a Equação 1 é dimensionalmente homogênea.

Passo 4

Comentário didático curto sobre o que aconteceu na Equação 1 (dicas para a prova):
  • Sempre importe os fatores de conversão com suas unidades. Ex.: 0,3048\,\text{m/ft} não é “só um número”, é um fator com unidades que permite cancelar \text{ft}.
  • Quando ver termos do tipo velocidade \times tempo, verifique se as unidades de comprimento/tempo e tempo se cancelam corretamente para dar comprimento, lembrando de aplicar fatores de conversão quando a velocidade estiver em unidades diferentes (ft/s vs m/s).
  • Se for fazer à mão na prova, escreva apenas as unidades e faça cancelamentos como mostrei; isso evita erros.

Passo 5

Análise detalhada da Equação 2, termo a termo.
Reescrevendo:
p\left(\frac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}}\right) = 101325\left(\frac{\text{Pa}}{\text{atm}}\right)\left[\left(\frac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}}\right)/\text{Pa}\right]p_{0}(\text{atm}) + \rho\left(\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}\right)\,v\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right).
  • Lado esquerdo: p com unidade indicada \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}}. Essa é, de fato, a unidade de pressão no SI (porque 1\\ \text{Pa} = 1\\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}^{2}} = 1\\ \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}}). Então a unidade alvo para os termos do lado direito é \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}}.
  • Primeiro termo do lado direito:
    101325\left(\frac{\text{Pa}}{\text{atm}}\right)\left[\left(\frac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}}\right)/\text{Pa}\right]p_{0}(\text{atm}).
    Tratar as unidades passo a passo:
    • \left(\dfrac{\text{Pa}}{\text{atm}}\right)\cdot(\text{atm}) = \text{Pa}.
    • Em seguida, \left[\left(\dfrac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}}\right)/\text{Pa}\right]\cdot\text{Pa} = \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}}.
    • Portanto, todo o produto resulta em unidade \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}}, que coincide com a unidade de p no lado esquerdo.
    • Observação: o fator numérico 101325 é a magnitude da conversão (Pa por atm) — tratá-lo como número não muda as unidades já canceladas como acima.
  • Segundo termo do lado direito:
    \rho\left(\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}\right)\,v\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right).
    Multiplicando unidades:
    \left(\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}\right)\cdot\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right) = \frac{\text{kg}}{\text{m}^{2}\,\text{s}}.
    Essa unidade é \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^{2}\,\text{s}}, que em termos de potências básicas é M\,L^{-2}\,T^{-1}.
    Comparando com a unidade de pressão \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}} = M\,L^{-1}\,T^{-2}: as potências de L e T são diferentes. Logo, o segundo termo NÃO tem a mesma dimensão que o lado esquerdo.
  • Conclusão parcial: o primeiro termo do RHS tem unidade de pressão (compatível com o LHS), mas o segundo termo tem unidade diferente. Assim a soma dos dois termos do RHS mistura unidades distintas; consequentemente a equação 2, tal como escrita, NÃO é dimensionalmente homogênea.

Passo 6

Observação final e dica prática:
  • Em muitos contextos físicos aparece o produto \rho v^{2} (por exemplo pressão dinâmica) e não \rho v. Note que \left(\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}\right)\cdot\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^{2} = \frac{\text{kg}}{\text{m}\,\text{s}^{2}},que daria unidade de pressão. Portanto, se no enunciado tivesse \rho v^{2} em vez de \rho v, a equação poderia ficar homogênea. Essa é uma boa verificação rápida na prova: compare potências de L e T e veja se correspondem.

Resposta

Equação 1: dimensionalmente homogênea.
Equação 2: não é dimensionalmente homogênea.

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