destão 3:Um motor trifásico em \Delta, 380 \mathrm{~V}, consome 12 kW com f.p. c. 0,78 atrasado e \eta=88 \%. Determine os itens de 11 a 15 .
{ }^{\prime} 11) A potência no eixo do motor:
a) 9,0 \mathrm{~kW}
b) 10,0 \mathrm{~kW}
c) 10,5 \mathrm{~kW}
d) 11,0 \mathrm{~kW}
e) 11,5 \mathrm{~kW}
12) A potência aparente:
a) 14,5 \mathrm{kVA}
b) 15,4 \mathrm{kVA}
c) 16,2 \mathrm{kVA}
d) 17,3 \mathrm{kVA}
e) 18,1 \mathrm{kVA}
13) A corrente de linha:
a) 20 A
b) 23 A
c) 30 A
d) 35 A
e) 40 A
14) A corrente de fase:
a) 12 A
b) 14 A
c) 17 A
d) 20 A
e) 23 A
15) A potência reativa:
a) 6,5 \mathrm{kVAr}
b) 8,0 \mathrm{kVAr}
c) 9,6 \mathrm{kVAr}
d) 10,2 \mathrm{kVAr}
e) 11,4 \mathrm{kVAr}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
  • Tensão de linha em conexão \Delta: V_L = 380\\ \mathrm{V}.
  • Potência elétrica consumida (potência de entrada): P_{\text{in}} = 12\\ \mathrm{kW}.
  • Fator de potência (atrasado): \cos\varphi = 0,78.
  • Rendimento do motor: \eta = 0,88.
    O enunciado pede (itens 11 a 15):
  1. a potência no eixo do motor (potência de saída),
  2. a potência aparente S,
  3. a corrente de linha I_L,
  4. a corrente de fase I_{\text{fase}},
  5. a potência reativa Q.

Passo 2

Explicação e cálculo da potência no eixo (potência de saída).
  • Teoria rápida: o rendimento \eta relaciona potência útil de saída P_{\text{out}} com potência de entrada P_{\text{in}} pela fórmula
P_{\text{out}} = \eta \cdot P_{\text{in}},
onde P_{\text{out}} é a potência mecânica no eixo, \eta é adimensional e P_{\text{in}} é a potência elétrica absorvida.
  • Aplicando os valores dados:
P_{\text{out}} = 0{,}88 \cdot 12\\ \mathrm{kW}.
  • Cálculo:
P_{\text{out}} = 10{,}56\\ \mathrm{kW}.
Arredondando para a alternativa disponível, isto corresponde a 10{,}5\\ \mathrm{kW}.

Passo 3

Explicação e cálculo da potência aparente S.
  • Teoria rápida: em corrente alternada, potência aparente S (em VA ou kVA) relaciona-se com potência ativa P e fator de potência \cos\varphi por
S = \frac{P}{\cos\varphi},
onde P é a potência ativa absorvida (aqui P_{\text{in}}=12\\ \mathrm{kW}).
  • Aplicando os valores:
S = \frac{12\\ \mathrm{kW}}{0{,}78}.
  • Cálculo:
S \approx 15{,}384615\\ \mathrm{kVA} \approx 15{,}4\\ \mathrm{kVA}.
Portanto a potência aparente é aproximadamente 15{,}4\\ \mathrm{kVA}.

Passo 4

Explicação e cálculo da corrente de linha I_L.
  • Teoria rápida para sistema trifásico balanceado: a potência aparente total S relaciona-se com a tensão de linha V_L e a corrente de linha I_L por
S = \sqrt{3}\,V_L\,I_L,
onde S está em VA, V_L em volts e I_L em ampères. Essa fórmula vale independentemente de conexão \Delta ou Y) para a relação entre S, V_L e I_L.
  • Isolando I_L:
I_L = \frac{S}{\sqrt{3}\,V_L}.
  • Usando S = 15{,}384615\\ \mathrm{kVA} = 15\,384{,}615\\ \mathrm{VA} (convertendo para VA) e V_L = 380\\ \mathrm{V}:
I_L = \frac{15\,384{,}615}{\sqrt{3}\cdot 380}.
  • Cálculo numérico (usar \sqrt{3}\approx 1{,}732):
I_L \approx \frac{15\,384{,}615}{1{,}732\cdot 380} \approx \frac{15\,384{,}615}{658{,}16} \approx 23{,}37\\ \mathrm{A}.
Arredondando para as alternativas, I_L \approx 23\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Explicação e cálculo da corrente de fase I_{\text{fase}} (conexão \Delta).
  • Teoria rápida sobre \Delta: em ligação em \Delta a tensão de fase é igual à tensão de linha, V_{\text{fase}} = V_L. As correntes se relacionam por
I_L = \sqrt{3}\,I_{\text{fase}},
ou equivalentemente
I_{\text{fase}} = \frac{I_L}{\sqrt{3}}.
(Explicação curta: em \Delta cada linha alimenta dois enrolamentos e há fator \sqrt{3} entre correntes de linha e de fase.)
  • Usando I_L \approx 23{,}37\\ \mathrm{A}:
I_{\text{fase}} \approx \frac{23{,}37}{1{,}732} \approx 13{,}49\\ \mathrm{A}.
Arredondando para as alternativas, I_{\text{fase}} \approx 14\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Explicação e cálculo da potência reativa Q.
  • Teoria rápida: potência reativa Q relaciona-se com potência ativa P e o ângulo de fase \varphi por
Q = P \tan\varphi,
onde \tan\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}. Dado \cos\varphi, podemos calcular \sin\varphi por \sin\varphi = \sqrt{1-\cos^2\varphi}.
  • Calcular \sin\varphi com \cos\varphi = 0{,}78:
\sin\varphi = \sqrt{1 - 0{,}78^2} = \sqrt{1 - 0{,}6084} = \sqrt{0{,}3916} \approx 0{,}6258.
  • Então
\tan\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} \approx \frac{0{,}6258}{0{,}78} \approx 0{,}8023.
  • Agora Q:
Q = 12\\ \mathrm{kW} \cdot 0{,}8023 \approx 9{,}6276\\ \mathrm{kVAr} \approx 9{,}6\\ \mathrm{kVAr}.
Portanto a potência reativa é aproximadamente 9{,}6\\ \mathrm{kVAr}.

Passo 7

Mapa entre os resultados calculados e as alternativas oferecidas (para conferência rápida):
    1. Potência no eixo: 10{,}56\\ \mathrm{kW} → alternativa aproximada 10{,}5\\ \mathrm{kW} (c).
    1. Potência aparente: 15{,}3846\\ \mathrm{kVA} 15{,}4\\ \mathrm{kVA} (b).
    1. Corrente de linha: 23{,}37\\ \mathrm{A} 23\\ \mathrm{A} (b).
    1. Corrente de fase: 13{,}49\\ \mathrm{A} 14\\ \mathrm{A} (b).
    1. Potência reativa: 9{,}6276\\ \mathrm{kVAr} 9{,}6\\ \mathrm{kVAr} (c).

Resposta

  1. 10{,}5\\ \mathrm{kW} (alternativa c)
  2. 15{,}4\\ \mathrm{kVA} (alternativa b)
  3. 23\\ \mathrm{A} (alternativa b)
  4. 14\\ \mathrm{A} (alternativa b)
  5. 9{,}6\\ \mathrm{kVAr} (alternativa c)

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