A destilação é um método utilizado para separar e coletar substâncias com base em sua resposta ao calor. Quando uma mistura é aquecida, a substância que evapora e é recolhida após o resfriamento é chamada de destilado. A parte que não evapora é conhecida como resíduo. Um exemplo é o óleo extraído de flores de lavanda por meio da destilação, amplamente utilizado na produção de fragrâncias.
Suponha que a quantidade de óleo obtida por destilação seja normalmente distribuída. Em uma amostra aleatória de 11 processos de destilação, a média amostral da produção de óleo foi de
gramas, com desvio padrão
gramas.
Calcule um intervalo de confiança de
para a média verdadeira da produção de óleo por lote.
Suponha que a quantidade de óleo obtida por destilação seja normalmente distribuída. Em uma amostra aleatória de 11 processos de destilação, a média amostral da produção de óleo foi de
Calcule um intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado pede um intervalo de confiança de
para a média verdadeira da produção de óleo por lote. As informações fornecidas são:
e foi dito que a quantidade é normalmente distribuída. Não há nenhuma outra informação.
Passo 2
Qual método usar? Aqui temos amostra pequena (
) e a variância/ desvio padrão populacional não foi informado (somos obrigados a usar
da amostra). Nesses casos, o procedimento correto é usar a distribuição
de Student para construir o intervalo de confiança. Vou justificar de forma simples:
- Se a variância populacional fosse conhecida e
grande, usaríamos a distribuição normal . - Quando a variância populacional é desconhecida e substituímos por
, a incerteza adicional é melhor modelada pela distribuição , que tem “caudas” mais largas para refletir essa incerteza. - O parâmetro da
é o número de graus de liberdade: .
Portanto vamos usar a fórmula do intervalo de confiança baseado na
.
Passo 3
Escrevendo a fórmula do intervalo de confiança bilateral de nível
para a média quando a variância é desconhecida:
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o quantil crítico da distribuição com graus de liberdade, tal que a área à direita é . -
é o desvio padrão amostral (aqui ). -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra. - O produto
é a margem de erro.
No nosso caso, para intervalo de
temos
e
, e os graus de liberdade são
.
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (standard error):
Calculemos
:
Portanto
(Dica prática: esse número é a estimativa da variabilidade da média amostral; na prova você pode obter
numa calculadora ou tabelinha e dividir.)
Passo 5
Buscar o valor crítico
. Em uma tabela de
ou calculadora estatística, para
e área superior
obtemos:
(Se você não lembrar o valor exato, basta consultar a tabela de Student para
na linha correspondente a
.)
Passo 6
Calcular a margem de erro:
Isto significa que o intervalo vai ser
gramas.
Passo 7
Calcular os extremos do intervalo:
Arredondando de forma consistente com os dados (uma casa decimal como na média e no desvio), fazemos: