A destilação é um método utilizado para separar e coletar substâncias com base em sua resposta ao calor. Quando uma mistura é aquecida, a substância que evapora e é recolhida após o resfriamento é chamada de destilado. A parte que não evapora é conhecida como resíduo. Um exemplo é o óleo extraído de flores de lavanda por meio da destilação, amplamente utilizado na produção de fragrâncias.
Suponha que a quantidade de óleo obtida por destilação seja normalmente distribuída. Em uma amostra aleatória de 11 processos de destilação, a média amostral da produção de óleo foi de \bar{x}=980,2 gramas, com desvio padrão s=27,6 gramas.
Calcule um intervalo de confiança de 95 \% para a média verdadeira da produção de óleo por lote.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira da produção de óleo por lote. As informações fornecidas são:
n=11,\quad \bar{x}=980,2\\ \text{gramas},\quad s=27,6\\ \text{gramas},
e foi dito que a quantidade é normalmente distribuída. Não há nenhuma outra informação.

Passo 2

Qual método usar? Aqui temos amostra pequena ( n=11) e a variância/ desvio padrão populacional não foi informado (somos obrigados a usar s da amostra). Nesses casos, o procedimento correto é usar a distribuição t de Student para construir o intervalo de confiança. Vou justificar de forma simples:
  • Se a variância populacional fosse conhecida e n grande, usaríamos a distribuição normal z.
  • Quando a variância populacional é desconhecida e substituímos por s, a incerteza adicional é melhor modelada pela distribuição t, que tem “caudas” mais largas para refletir essa incerteza.
  • O parâmetro da t é o número de graus de liberdade: \nu=n-1.
Portanto vamos usar a fórmula do intervalo de confiança baseado na t.

Passo 3

Escrevendo a fórmula do intervalo de confiança bilateral de nível 1-\alpha para a média quando a variância é desconhecida:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=980,2).
  • t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil crítico da distribuição t com n-1 graus de liberdade, tal que a área à direita é \alpha/2.
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=27,6).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra.
  • O produto t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} é a margem de erro.
No nosso caso, para intervalo de 95\% temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025, e os graus de liberdade são n-1=10.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (standard error):
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{27,6}{\sqrt{11}}.
Calculemos \sqrt{11}:
\sqrt{11}\approx 3,3166.
Portanto
\frac{s}{\sqrt{n}}\approx\frac{27,6}{3,3166}\approx 8,323.
(Dica prática: esse número é a estimativa da variabilidade da média amostral; na prova você pode obter \sqrt{11} numa calculadora ou tabelinha e dividir.)

Passo 5

Buscar o valor crítico t_{0,025,10}. Em uma tabela de t ou calculadora estatística, para \nu=10 e área superior 0,025 obtemos:
t_{0,025,10}\approx 2,228.
(Se você não lembrar o valor exato, basta consultar a tabela de Student para \nu=10 na linha correspondente a 0,025.)

Passo 6

Calcular a margem de erro:
E = t_{0,025,10}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,228\times 8,323\approx 18,55.
Isto significa que o intervalo vai ser \bar{x}\pm 18,55 gramas.

Passo 7

Calcular os extremos do intervalo:
\text{limite inferior}=\bar{x}-E\approx 980,2-18,55=961,65,
\text{limite superior}=\bar{x}+E\approx 980,2+18,55=998,75.
Arredondando de forma consistente com os dados (uma casa decimal como na média e no desvio), fazemos:
\text{limite inferior}\approx 961,7\\ \text{g},\qquad \text{limite superior}\approx 998,7\\ \text{g}.

Resposta

95\% IC para a média: (961,7\\ \text{g},\\\ 998,7\\ \text{g})

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