O Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros, inaugurado em 1961 no Brasil, é conhecido por suas paisagens deslumbrantes, locais históricos, áreas de interesse científico e espaços para lazer. O gêiser Cristalino está situado na região das Areias Negras, próximo ao Rio de Cristal. O intervalo entre suas erupções pode variar bastante, indo de poucos minutos até várias horas.
Um pesquisador do Instituto Nacional de Parques deseja calcular um intervalo de confiança de
para a média da altura das erupções do gêiser Cristalino, com uma margem de erro de cinco pés. Experiências anteriores indicam que o desvio padrão populacional da altura das erupções é de aproximadamente 15 pés.
Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para garantir essa precisão?
Um pesquisador do Instituto Nacional de Parques deseja calcular um intervalo de confiança de
Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para garantir essa precisão?
Passo 1
O enunciado pede o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a média da altura das erupções do gêiser Cristalino com um intervalo de confiança de
e com margem de erro igual a
pés. As informações fornecidas são:
- Nível de confiança:
. - Margem de erro desejada:
(pés). - Desvio padrão populacional conhecido (estimado):
(pés).
A pergunta única é: qual o tamanho mínimo da amostraque garante essa precisão?
Passo 2
Vamos entender a fórmula que relaciona margem de erro, nível de confiança e tamanho de amostra quando o desvio padrão populacional
é conhecido. Para um intervalo de confiança para a média com nível de confiança
, a margem de erro
é dada por
Explicando cada símbolo:
-
é a margem de erro (a metade da largura do intervalo de confiança). -
é o valor crítico da distribuição normal padrão (ou seja, o número tal que a área à direita é ). -
é o desvio padrão populacional (aqui pés). -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Essa fórmula vem do fato de que o erro padrão da média amostral é, e multiplicando esse erro padrão pelo quantil obtemos a margem de erro desejada.
Passo 3
Agora isolamos
nessa fórmula. Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
obtemos
Elevando ao quadrado, encontramos a fórmula prática para o tamanho da amostra:
Passo 4
Precisamos do valor de
para um nível de confiança de
. Aqui
, então
. O valor crítico da normal padrão que deixa
à direita (ou
à esquerda) é o clássico
Esse valor é obtido em tabelas da normal padrão ou usando calculadora estatística; é um valor muito usado em confiança
.
Passo 5
Agora substituímos os números na fórmula:
Calcule passo a passo:
Passo 6
O valor de
calculado é
. Como
precisa ser um número inteiro representando quantidade de observações e queremos garantir que a margem de erro seja, no máximo,
pés, devemos arredondar para cima (sempre arredondar para o inteiro seguinte). Portanto o tamanho mínimo de amostra é
Resposta
35