O Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros, inaugurado em 1961 no Brasil, é conhecido por suas paisagens deslumbrantes, locais históricos, áreas de interesse científico e espaços para lazer. O gêiser Cristalino está situado na região das Areias Negras, próximo ao Rio de Cristal. O intervalo entre suas erupções pode variar bastante, indo de poucos minutos até várias horas.
Um pesquisador do Instituto Nacional de Parques deseja calcular um intervalo de confiança de 95 \% para a média da altura das erupções do gêiser Cristalino, com uma margem de erro de cinco pés. Experiências anteriores indicam que o desvio padrão populacional da altura das erupções é de aproximadamente 15 pés.
Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para garantir essa precisão?

Passo 1

O enunciado pede o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a média da altura das erupções do gêiser Cristalino com um intervalo de confiança de 95\% e com margem de erro igual a 5 pés. As informações fornecidas são:
  • Nível de confiança: 95\%.
  • Margem de erro desejada: E = 5 (pés).
  • Desvio padrão populacional conhecido (estimado): \sigma = 15 (pés).
    A pergunta única é: qual o tamanho mínimo da amostra n que garante essa precisão?

Passo 2

Vamos entender a fórmula que relaciona margem de erro, nível de confiança e tamanho de amostra quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido. Para um intervalo de confiança para a média com nível de confiança 1-\alpha, a margem de erro E é dada por
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • E é a margem de erro (a metade da largura do intervalo de confiança).
  • z_{\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão (ou seja, o número tal que a área à direita é \alpha/2).
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui 15 pés).
  • n é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
    Essa fórmula vem do fato de que o erro padrão da média amostral é \sigma/\sqrt{n}, e multiplicando esse erro padrão pelo quantil z_{\alpha/2} obtemos a margem de erro desejada.

Passo 3

Agora isolamos n nessa fórmula. Partimos de
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{n} e dividindo por E obtemos
\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}.
Elevando ao quadrado, encontramos a fórmula prática para o tamanho da amostra:
n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2.

Passo 4

Precisamos do valor de z_{\alpha/2} para um nível de confiança de 95\%. Aqui \alpha = 0,05, então \alpha/2 = 0,025. O valor crítico da normal padrão que deixa 0,025 à direita (ou 0,975 à esquerda) é o clássico
z_{0,025} = 1{,}96.
Esse valor é obtido em tabelas da normal padrão ou usando calculadora estatística; é um valor muito usado em confiança 95\%.

Passo 5

Agora substituímos os números na fórmula:
n = \left(\frac{z_{0,025}\,\sigma}{E}\right)^2 = \left(\frac{1{,}96 \times 15}{5}\right)^2.
Calcule passo a passo:
1{,}96 \times 15 = 29{,}4,
\frac{29{,}4}{5} = 5{,}88,
n = (5{,}88)^2 = 34{,}5744.

Passo 6

O valor de n calculado é 34{,}5744. Como n precisa ser um número inteiro representando quantidade de observações e queremos garantir que a margem de erro seja, no máximo, 5 pés, devemos arredondar para cima (sempre arredondar para o inteiro seguinte). Portanto o tamanho mínimo de amostra é
n_{\min} = 35.

Resposta

35

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