Desvios das leis de Kepler são causados por exemplo pela influência gravitacional de Júpiter na órbita dos outros planetas do sistema solar, assim como por correções na energia potencial efetiva do sistema advindas da relatividade geral.
Considere uma partícula de massa m sob a ação da força central \vec{F}=F(r) \hat{r}, de modo que a energia potencial do sistema seja dada por
V(r)=-\frac{k}{r}+\frac{\alpha}{2 r^{2}},
representando um desvio do modelo kepleriano.
a) Determine a força agindo na partícula, em função de r.
b) Calcule o momento angular (com relação à origem) de uma órbita circular de raio a, para a>\alpha / k.
c) Calcule a frequência angular de rotação \Omega(a) da órbita circular de raio a.
d) Calcule a frequência \omega_{0} de pequenas oscilações radiais em torno da órbita circular de raio a.
e) Se \Delta \varphi é o ângulo [em coordenadas polares (r, \varphi) ] varrido pela partícula durante uma oscilação radial completa, o ângulo de precessão \Delta \psi devido à passagem da partícula por dois pericentros consecutivos é \Delta \psi=\Delta \varphi-2 \pi. Calcule \Delta \psi para pequenas oscilações ao redor de uma órbita circular de raio a, em primeira ordem em \frac{\alpha}{k a}. Explicite o passo-a-passo de sua dedução.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial do sistema e pede várias quantidades relacionadas a órbitas circulares e pequenas perturbações. Vou listar claramente os dados e as perguntas (peguei todas estas informações do enunciado):
  • Dados:
    • Massa da partícula: m.
    • Potencial radial: V(r)=-\frac{k}{r}+\frac{\alpha}{2 r^{2}}.
    • Considera-se uma órbita circular de raio a, com a condição a>\dfrac{\alpha}{k} (isso garante certas quantidades positivas, que usaremos).
  • O que o enunciado pede:
    (a) determinar a força \vec{F}(r) em função de r;
    (b) calcular o momento angular (relativo à origem) de uma órbita circular de raio a;
    (c) calcular a frequência angular de rotação \Omega(a) dessa órbita circular;
    (d) calcular a frequência \omega_{0} de pequenas oscilações radiais em torno da órbita circular de raio a;
    (e) calcular o ângulo de precessão \Delta\psi=\Delta\varphi-2\pi para pequenas oscilações ao redor da órbita circular de raio a, em primeira ordem em \dfrac{\alpha}{k a}.

Passo 2

(a) Determinar a força a partir do potencial.
Lembrete: para uma força central derivada de um potencial escalar V(r), a componente radial da força é F_r=-\dfrac{dV}{dr} e o vetor força é \vec F = F_r \,\hat r. Vou calcular a derivada explicitamente.
Calcule dV/dr:
\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}\!\left(-\frac{k}{r}+\frac{\alpha}{2r^{2}}\right) = k\,r^{-2}-\alpha\,r^{-3}.
Portanto a componente radial da força é
F_r=-\frac{dV}{dr}=-\frac{k}{r^{2}}+\frac{\alpha}{r^{3}}.
Escrevendo como vetor:
\vec{F}(r)=\left(-\frac{k}{r^{2}}+\frac{\alpha}{r^{3}}\right)\hat r.

Passo 3

(b) Momento angular da órbita circular de raio a.
Método usado (básico e prático para provas): usar o potencial efetivo e a condição de equilíbrio (mínimo) para órbita circular.
Definição: potencial efetivo para movimento radial com momento angular L (módulo do momento angular relativo à origem) é
V_{\text{eff}}(r)=V(r)+\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}.
Uma órbita circular de raio a corresponde a um ponto de equilíbrio radial, logo
\left.\frac{dV_{\text{eff}}}{dr}\right|_{r=a}=0.
Calcule a derivada:
\frac{dV_{\text{eff}}}{dr}=\frac{dV}{dr}-\frac{L^{2}}{m r^{3}}.
Impondo a condição em r=a:
\left.\frac{dV}{dr}\right|_{r=a}-\frac{L^{2}}{m a^{3}}=0.
Já calculamos \dfrac{dV}{dr}=k r^{-2}-\alpha r^{-3}. Avaliando em r=a e isolando L^{2}:
k a^{-2}-\alpha a^{-3}-\frac{L^{2}}{m a^{3}}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{L^{2}}{m a^{3}}=k a^{-2}-\alpha a^{-3}.
Multiplicando por m a^{3}:
L^{2}=m\bigl(k a-\alpha\bigr).
Como a>\dfrac{\alpha}{k} a quantidade k a-\alpha é positiva e podemos tomar a raiz positiva para o módulo do momento angular:
L=\sqrt{m\,(k a-\alpha)}.
Isto é o momento angular da órbita circular de raio a.

Passo 4

(c) Frequência angular \Omega(a) da órbita circular.
Relação entre momento angular e velocidade angular: para movimento circular L=m a^{2}\,\Omega. Assim
\Omega=\frac{L}{m a^{2}}.
Substituindo L encontrado:
\Omega(a)=\frac{\sqrt{m\,(k a-\alpha)}}{m a^{2}} =\sqrt{\frac{k a-\alpha}{m a^{4}}}.
Outra forma equivalente (obtida usando equilíbrio centrípeto m a \Omega^{2}= magnitude da força radial) é a mesma expressão após simples álgebra.

Passo 5

(d) Frequência \omega_{0} de pequenas oscilações radiais em torno da órbita circular de raio a.
Ideia física e fórmula: pequenas oscilações radiais em torno de um mínimo do potencial efetivo têm frequência (no regime harmônico) dada por
\omega_{0}^{2}=\frac{1}{m}\left.\frac{d^{2}V_{\text{eff}}}{dr^{2}}\right|_{r=a}.
Vamos calcular a segunda derivada de V_{\text{eff}}. Primeiro temos
\frac{dV}{dr}=k r^{-2}-\alpha r^{-3},
então
\frac{d^{2}V}{dr^{2}}=-2k r^{-3}+3\alpha r^{-4}.
E
\frac{d^{2}V_{\text{eff}}}{dr^{2}}=\frac{d^{2}V}{dr^{2}}+\frac{3L^{2}}{m r^{4}}.
Avalio em r=a e substituo L^{2}=m(ka-\alpha):
\left.\frac{d^{2}V_{\text{eff}}}{dr^{2}}\right|_{r=a} = -2k a^{-3}+3\alpha a^{-4} + \frac{3}{a^{4}}\,L^{2}/m = -2k a^{-3}+3\alpha a^{-4} + \frac{3(ka-\alpha)}{a^{4}}.
Agrupando termos:
-2k a^{-3}+ \frac{3ka}{a^{4}} \;+\; 3\alpha a^{-4}-\frac{3\alpha}{a^{4}} = \left(-2k a^{-3} + 3k a^{-3}\right) + 0 = k a^{-3}.
Logo
\left.\frac{d^{2}V_{\text{eff}}}{dr^{2}}\right|_{r=a}= \frac{k}{a^{3}}.
Portanto
\omega_{0}^{2}=\frac{1}{m}\cdot\frac{k}{a^{3}}=\frac{k}{m a^{3}}, \qquad \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m a^{3}}}.

Passo 6

(e) Ângulo de precessão \Delta\psi para pequenas oscilações, em primeira ordem em \dfrac{\alpha}{k a}.
Definição e relação útil: seja T_{r} o período da oscilação radial (tempo entre dois pericentros consecutivos). Durante esse tempo a partícula gira um ângulo
\Delta\varphi=\Omega\,T_{r}.
Para uma oscilação harmônica radial pequena, T_{r}=2\pi/\omega_{0}. Assim
\Delta\varphi= \Omega\cdot\frac{2\pi}{\omega_{0}} = 2\pi\frac{\Omega}{\omega_{0}}.
O ângulo de precessão por oscilação é
\Delta\psi=\Delta\varphi-2\pi = 2\pi\left(\frac{\Omega}{\omega_{0}}-1\right).
Agora computo a razão \dfrac{\Omega}{\omega_{0}}. Já tenho
\Omega^{2}=\frac{k a-\alpha}{m a^{4}},\qquad \omega_{0}^{2}=\frac{k}{m a^{3}}.
Portanto
\left(\frac{\Omega}{\omega_{0}}\right)^{2} =\frac{(k a-\alpha)/(m a^{4})}{k/(m a^{3})} =\frac{k a-\alpha}{k a}=1-\frac{\alpha}{k a}.
Defino a pequena quantidade adimensional
\varepsilon\equiv\frac{\alpha}{k a},
que é pequena (o enunciado pede expansão em primeira ordem em \varepsilon). Então
\frac{\Omega}{\omega_{0}}=\sqrt{1-\varepsilon}.
Expansão em primeira ordem para \varepsilon\ll1:
\sqrt{1-\varepsilon}=1-\frac{\varepsilon}{2}+O(\varepsilon^{2}).
Substituindo em \Delta\psi:
\Delta\psi=2\pi\left(1-\frac{\varepsilon}{2}-1\right)+O(\varepsilon^{2}) = -\pi\,\varepsilon + O(\varepsilon^{2}).
Voltando a \varepsilon=\dfrac{\alpha}{k a}, obtemos, em primeira ordem em \dfrac{\alpha}{k a},
\Delta\psi \approx -\pi\,\frac{\alpha}{k a}.
Isto significa que, para \alpha>0, o pericentro sofre uma precessão retrograda (ângulo negativo) de magnitude \pi\alpha/(k a) por oscilação radial — a direção (sinal) depende do sinal de \alpha.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{F}(r)=\left(-\frac{k}{r^{2}}+\frac{\alpha}{r^{3}}\right)\hat r
(b) \displaystyle L=\sqrt{m\,(k a-\alpha)}
(c) \displaystyle \Omega(a)=\sqrt{\frac{k a-\alpha}{m a^{4}}}
(d) \displaystyle \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m a^{3}}}
(e) \displaystyle \Delta\psi \approx -\pi\,\frac{\alpha}{k a} (primeira ordem em \dfrac{\alpha}{k a})

Exercícios relacionados