Se det \left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]=-2, determine det \left[\begin{array}{ccc}a_{11}+a_{21} k & a_{12}+a_{22} k & a_{13}+a_{23} k \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\ a_{11} k-a_{21} & a_{12} k-a_{22} & a_{13} k-a_{23}\end{array}\right], onde k é um número real qualquer, sem calcular os determinantes envolvidos (use as propriedades de determinante).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[2pt] a_{21} & a_{22} & a_{23} \\[2pt] a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}
e informa que \det(A)=-2. Precisa-se determinar o determinante da matriz
B=\begin{bmatrix} a_{11}+a_{21}k & a_{12}+a_{22}k & a_{13}+a_{23}k \\[2pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \\[2pt] a_{11}k-a_{21} & a_{12}k-a_{22} & a_{13}k-a_{23} \end{bmatrix},
onde k é um número real qualquer.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \det(A)=-2.
  • As linhas de B são combinações lineares das linhas de A. Denotando as linhas de A por r_1,r_2,r_3 (cada r_i é um vetor linha), as linhas de B são:
    • linha 1 de B: r_1 + k\,r_2,
    • linha 2 de B: r_3,
    • linha 3 de B: k\,r_1 - r_2.
      O que se pede é \det(B) em função de \det(A) e de k, usando propriedades de determinante (sem calcular determinantes de submatrizes diretamente).]

Passo 2

Estratégia (explicação didática das propriedades usadas). Vou usar a propriedade multiplicativa do determinante: se P e A são matrizes quadradas compatíveis, então
\det(PA)=\det(P)\det(A).
Aqui é conveniente interpretar as combinações lineares de linhas como a multiplicação à esquerda por uma matriz P que aplica essas combinações às linhas de A. Ou seja, se as linhas de B são combinações das linhas de A, existe P tal que B=P A. Então basta achar P e calcular \det(P); como \det(A) é dado, teremos \det(B)=\det(P)\det(A).
Comentário rápido sobre por que isso funciona (sem jargões): multiplicar A por P à esquerda transforma as linhas de A de acordo com P; o determinante mede a “escala orientada” do volume sob a transformação, e composições de transformações multiplicam essas escalas, por isso os determinantes se multiplicam.

Passo 3

Construção explícita da matriz P. Queremos que
\begin{array}{l} \text{linha}_1(B)=1\cdot r_1 + k\cdot r_2 + 0\cdot r_3,\\[4pt] \text{linha}_2(B)=0\cdot r_1 + 0\cdot r_2 + 1\cdot r_3,\\[4pt] \text{linha}_3(B)=k\cdot r_1 + (-1)\cdot r_2 + 0\cdot r_3. \end{array}
Portanto a matriz P (coeficientes das combinações das linhas) é
P=\begin{bmatrix} 1 & k & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] k & -1 & 0 \end{bmatrix},
e de fato B=P A. Assim
\det(B)=\det(P)\det(A).]

Passo 4

Cálculo de \det(P) (passo a passo). Vou calcular \det(P) expandindo ao longo da terceira coluna, que tem entradas 0,1,0. Assim apenas o elemento da posição (2,3) contribui:
\det(P)=(-1)^{2+3}\cdot 1 \cdot \det\!\begin{bmatrix}1 & k \\[4pt] k & -1\end{bmatrix}.
O sinal é (-1)^{5}=-1. Agora o menor 2\times2 vale
\det\!\begin{bmatrix}1 & k \\[4pt] k & -1\end{bmatrix}=1\cdot(-1)-k\cdot k=-1-k^{2}.
Multiplicando:
\det(P) = -1\cdot(-1-k^{2}) = 1+k^{2}.]

Passo 5

Combinação final usando \det(B)=\det(P)\det(A). Substituindo \det(P)=1+k^{2} e \det(A)=-2, obtemos
\det(B)=(1+k^{2})\cdot(-2)=-2(1+k^{2}).
Interpretação breve: a operação que forma B a partir de A é uma transformação linear das linhas com fator de escala (1+k^{2}), então o determinante de B é (1+k^{2}) vezes o determinante de A.

Resposta

-2(1+k^{2})

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