Numere a coluna I de acordo com a coluna II. Justifique a partir das equações características.
coluna I
coluna II
( ) elipse
(1)
( ) parábola
(2)
( ) hipérbole
( 3 )
( ) reta
( 4 )
( ) circunferência
(5)
| coluna I | coluna II |
| ( ) elipse | (1)
|
| ( ) parábola | (2)
|
| ( ) hipérbole | ( 3 )
|
| ( ) reta | ( 4 )
|
| ( ) circunferência | (5)
|
Passo 1
O enunciado pede para casar cada tipo de curva da coluna I com a equação correspondente da coluna II, justificando a escolha a partir das equações características. As opções são:
- Coluna I (ordem pedida): (elipse), (parábola), (hipérbole), (reta), (circunferência).
- Coluna II (equações dadas):
- (1)
- (2)
- (3)
- (4)
- (5)
- (1)
O objetivo: para cada tipo da coluna I, indicar qual número da coluna II corresponde, com justificativa a partir das formas das equações.
Passo 2
Mini-aula rápida: classificação de cônicas a partir da forma geral.
A forma geral de uma cônica no plano é
onde
são constantes. O discriminante usado para classificar o tipo (quando há termos quadráticos) é
Regras principais (quando há termos quadráticos):
- Se
e e têm o mesmo sinal, a curva é uma elipse. Caso especial: se e então é uma circunferência. - Se
, a curva é uma parábola. - Se
, a curva é uma hipérbole.
Observações práticas:
- Se a equação não tem termos quadráticos (ou seja,
) então é uma equação de reta (equação linear). - Se só aparece um quadrado (por exemplo
mas não nem ), costuma ser parábola (isso também aparece como ).
Agora vamos aplicar isso a cada equação.
Passo 3
Analisando a equação (1):
.
Coloco na forma geral:
Aqui
,
,
. Calculo o discriminante:
Temos
e
e
têm o mesmo sinal (ambos positivos), portanto é uma elipse. Além disso
mas
, então não é círculo; é elipse propriamente dita.
Conclusão: (1) corresponde a elipse.
Passo 4
Analisando a equação (2):
.
Expando para a forma geral:
Aqui
,
,
. Observação especial:
e
é a condição característica de uma circunferência (mesma coeficiente nos quadrados e sem termo
). Também é fácil ver que é uma circunferência com centro
e raio
(já vinha da equação centrada inicial).
Conclusão: (2) corresponde a circunferência.
Passo 5
Analisando a equação (3):
.
Reescrevo na forma padrão de polinômio:
Aqui
,
,
(não há termo
). Calculo o discriminante:
Como
, isso caracteriza uma parábola. Outro jeito intuitivo: só aparece um termo quadrático (
) e
aparece apenas em grau 1, forma típica de parábola (por exemplo
).
Conclusão: (3) corresponde a parábola.
Passo 6
Analisando a equação (4):
.
Coloco na forma geral:
Aqui
,
,
. Calculo o discriminante:
Como
, a curva é uma hipérbole. De fato
é a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem.
Conclusão: (4) corresponde a hipérbole.
Passo 7
Analisando a equação (5):
.
Aqui não há termos quadráticos (coeficientes de
são todos
). Portanto trata-se de uma equação linear em
, isto é, uma reta.
Conclusão: (5) corresponde a reta.
Resposta
elipse
(1)
parábola (3)
hipérbole (4)
reta (5)
circunferência (2)
parábola
hipérbole
reta
circunferência