Numere a coluna I de acordo com a coluna II. Justifique a partir das equações características.
coluna I coluna II
( ) elipse (1) \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1
( ) parábola (2) (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9
( ) hipérbole ( 3 ) y-x^{2}+5 x-6=0
( ) reta ( 4 ) x^{2}-y^{2}=4
( ) circunferência (5) 2 x+3 y-1=0

Passo 1

O enunciado pede para casar cada tipo de curva da coluna I com a equação correspondente da coluna II, justificando a escolha a partir das equações características. As opções são:
  • Coluna I (ordem pedida): (elipse), (parábola), (hipérbole), (reta), (circunferência).
  • Coluna II (equações dadas):
    • (1) \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{16}=1
    • (2) (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9
    • (3) y-x^{2}+5x-6=0
    • (4) x^{2}-y^{2}=4
    • (5) 2x+3y-1=0
O objetivo: para cada tipo da coluna I, indicar qual número da coluna II corresponde, com justificativa a partir das formas das equações.

Passo 2

Mini-aula rápida: classificação de cônicas a partir da forma geral.
A forma geral de uma cônica no plano é
A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0,
onde A,B,C,D,E,F são constantes. O discriminante usado para classificar o tipo (quando há termos quadráticos) é
\Delta = B^{2}-4AC.
Regras principais (quando há termos quadráticos):
  • Se \Delta<0 e A e C têm o mesmo sinal, a curva é uma elipse. Caso especial: se B=0 e A=C então é uma circunferência.
  • Se \Delta=0, a curva é uma parábola.
  • Se \Delta>0, a curva é uma hipérbole.
Observações práticas:
  • Se a equação não tem termos quadráticos (ou seja, A=C=B=0) então é uma equação de reta (equação linear).
  • Se só aparece um quadrado (por exemplo x^{2} mas não y^{2} nem xy), costuma ser parábola (isso também aparece como \Delta=0).
Agora vamos aplicar isso a cada equação.

Passo 3

Analisando a equação (1): \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{16}=1.
Coloco na forma geral:
\frac{1}{9}x^{2}+\frac{1}{16}y^{2}-1=0.
Aqui A=\dfrac{1}{9}, B=0, C=\dfrac{1}{16}. Calculo o discriminante:
\Delta = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{16} = -\frac{4}{144} = -\frac{1}{36}<0.
Temos \Delta<0 e A e C têm o mesmo sinal (ambos positivos), portanto é uma elipse. Além disso B=0 mas A\neq C, então não é círculo; é elipse propriamente dita.
Conclusão: (1) corresponde a elipse.

Passo 4

Analisando a equação (2): (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9.
Expando para a forma geral:
x^{2}-2x+1 + y^{2}-4y+4 -9=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0.
Aqui A=1, B=0, C=1. Observação especial: A=C e B=0 é a condição característica de uma circunferência (mesma coeficiente nos quadrados e sem termo xy). Também é fácil ver que é uma circunferência com centro (1,2) e raio 3 (já vinha da equação centrada inicial).
Conclusão: (2) corresponde a circunferência.

Passo 5

Analisando a equação (3): y-x^{2}+5x-6=0.
Reescrevo na forma padrão de polinômio:
-x^{2}+5x+y-6=0.
Aqui A=-1, B=0, C=0 (não há termo y^{2}). Calculo o discriminante:
\Delta = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot(-1)\cdot 0 = 0.
Como \Delta=0, isso caracteriza uma parábola. Outro jeito intuitivo: só aparece um termo quadrático ( x^{2}) e y aparece apenas em grau 1, forma típica de parábola (por exemplo y=ax^{2}+bx+c).
Conclusão: (3) corresponde a parábola.

Passo 6

Analisando a equação (4): x^{2}-y^{2}=4.
Coloco na forma geral:
x^{2}-y^{2}-4=0.
Aqui A=1, B=0, C=-1. Calculo o discriminante:
\Delta = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot 1\cdot(-1) = 4>0.
Como \Delta>0, a curva é uma hipérbole. De fato x^{2}-y^{2}=4 é a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem.
Conclusão: (4) corresponde a hipérbole.

Passo 7

Analisando a equação (5): 2x+3y-1=0.
Aqui não há termos quadráticos (coeficientes de x^{2},xy,y^{2} são todos \,0). Portanto trata-se de uma equação linear em x,y, isto é, uma reta.
Conclusão: (5) corresponde a reta.

Resposta

elipse \to (1)
parábola \to (3)
hipérbole \to (4)
reta \to (5)
circunferência \to (2)

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