Dadas as retas r:\left\{\begin{array}{c}x=1+t \\\ y=-2+t \\\ z=3\end{array}\right. e s: \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{2} e o plano \pi: 2 x-y+z-3=0. Analise as informações, classificando-as em V (verdadeira) ou F (falsa). Justifique com argumentos matemáticos.
( ) O ponto A(1,1,0) \in \pi.
( ) O ponto B(3,0,3) \in r.
( ) As retas r e s são paralelas.
( ) As retas r e s são reversas.
( ) A reta \left\{\begin{array}{c}x=t \\\ y=1-t \\\ z=2 t+2\end{array}\right. é ortogonal à reta r.
( ) O vetor \vec{v}=(1,2,1) é paralelo ao plano \pi.
( ) O vetor \vec{a}=(2,-1,1) é ortogonal ao plano \pi.
( ) O plano \pi é ortogonal ao plano \alpha: x+2 y-z=0.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes entidades:
A reta r\) dada por
\[r:\begin{cases} x=1+t,\\[4pt] y=-2+t,\\[4pt] z=3, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
A reta s\] dada na forma simétrica
\[s:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{2}=\lambda,\quad \lambda\in\mathbb{R}.\]
- O plano \[\pi dado por
\pi:\;2x-y+z-3=0.
As afirmações a serem classificadas (cada uma Verdadeira ou Falsa) são, na ordem:
O ponto A(1,1,0)\in\pi.
O ponto B(3,0,3)\in r.
As retas r e s são paralelas.
As retas r e s são reversas (isto é, não coplanares e não se intersectam).
A reta \ell:\begin{cases}x=t\\\ y=1-t\\\ z=2t+2\end{cases}\] é ortogonal à reta \(r.
O vetor \vec{v}=(1,2,1) é paralelo ao plano \pi.
O vetor \vec{a}=(2,-1,1) é ortogonal ao plano \pi.
O plano \pi é ortogonal ao plano \alpha: x+2y-z=0.]
Passo 2
Como verificar se um ponto pertence a um plano: para P(x_0,y_0,z_0) no plano dado por ax+by+cz+d=0 basta substituir as coordenadas e ver se a igualdade é satisfeita; se sim, o ponto pertence, senão não pertence.
Aplicando isso à afirmação 1 com A(1,1,0) e \pi:2x-y+z-3=0:
2\cdot 1 - 1 + 0 - 3 = 2-1-3 = -2 \neq 0.
Conclusão: A\notin\pi. A afirmação 1 é Falsa.
Passo 3
Para ver se B(3,0,3) pertence à reta r, escrevemos um ponto genérico de r e igualamos às coordenadas de B:
x=1+t=3 \Rightarrow t=2.
Com t=2,
y=-2+t=-2+2=0,\qquad z=3.
As coordenadas coincidem com B(3,0,3). Portanto B\in r. A afirmação 2 é Verdadeira.
Passo 4
Direções das retas: a partir das equações paramétricas.
Para r, a direção é o vetor
\vec{d_r}=(1,1,0)
(vindo dos coeficientes de t em x,y,z).
Para s, escrevendo x=2+\lambda,\; y=-1-\lambda,\; z=1+2\lambda, a direção é
\vec{d_s}=(1,-1,2).
Duas retas são paralelas se e somente se seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro. Verificamos se existe k tal que \vec{d_r}=k\vec{d_s}. Comparando componentes:
(1,1,0)=k(1,-1,2).
Da primeira componente 1=k. Da segunda componente 1=-k\Rightarrow k=-1. Já dá contradição (k não pode ser simultaneamente 1 e -1). Logo não são paralelas. A afirmação 3 é Falsa.
Passo 5
Para decidir se duas retas não paralelas se intersectam ou são reversas (skew): tentar resolver o sistema que iguala um ponto genérico de r e de s. Se existir solução com os parâmetros, intersectam; se não existir e não forem paralelas, então são reversas.
Igualando r(t)=(1+t,\,-2+t,\,3) e s(\lambda)=(2+\lambda,\,-1-\lambda,\,1+2\lambda):
o que é uma contradição (a conta mostra que, com \lambda=1 e t=2, a segunda igualdade não é satisfeita). (Observação: se em vez de resolver pela terceira eq tivéssemos seguido outro caminho, chegamos na mesma incompatibilidade.) Portanto não existe solução comum: as retas não se intersectam. Como já vimos que não são paralelas, elas são reversas (skew). A afirmação 4 é Verdadeira.
Passo 6
Definição e teste de ortogonalidade entre retas: duas retas são ortogonais se os seus vetores diretores têm produto escalar zero.
Reta \ell\) dada por
\[\ell:\begin{cases}x=t,\\\ y=1-t,\\\ z=2t+2\end{cases}
tem vetor direção
\vec{d_\ell}=(1,-1,2).
Recorde que já obtivemos (\vec{d_r}=(1,1,0)]. Calculamos o produto escalar: \vec{d_r}\cdot\vec{d_\ell}=(1,1,0)\cdot(1,-1,2)=1\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 0\cdot 2 = 1-1+0 = 0.
Como o produto escalar é zero, as retas são ortogonais entre si. A afirmação 5 é Verdadeira.
Passo 7
Teste de paralelismo de um vetor com um plano: um vetor \vec{v} é paralelo a um plano ax+by+cz+d=0 se e só se \vec{v} é ortogonal ao vetor normal do plano \vec{n}=(a,b,c); isto é, se \vec{v}\cdot\vec{n}=0.