1. Dadas as retas r:\left\{\begin{array}{c}x=1+t \\\ y=-2+t \\\ z=3\end{array}\right. e s: \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{2} e o plano \pi: 2 x-y+z-3=0. Analise as informações, classificando-as em V (verdadeira) ou F (falsa). Justifique com argumentos matemáticos.
    ( ) O ponto A(1,1,0) \in \pi.
    ( ) O ponto B(3,0,3) \in r.
    ( ) As retas r e s são paralelas.
    ( ) As retas r e s são reversas.
    ( ) A reta \left\{\begin{array}{c}x=t \\\ y=1-t \\\ z=2 t+2\end{array}\right. é ortogonal à reta r.
    ( ) O vetor \vec{v}=(1,2,1) é paralelo ao plano \pi.
    ( ) O vetor \vec{a}=(2,-1,1) é ortogonal ao plano \pi.
    ( ) O plano \pi é ortogonal ao plano \alpha: x+2 y-z=0.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes entidades:
  • A reta r\) dada por \[r:\begin{cases} x=1+t,\\[4pt] y=-2+t,\\[4pt] z=3, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
  • A reta s\] dada na forma simétrica \[s:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{2}=\lambda,\quad \lambda\in\mathbb{R}.\] - O plano \[\pi dado por
\pi:\;2x-y+z-3=0.
As afirmações a serem classificadas (cada uma Verdadeira ou Falsa) são, na ordem:
  1. O ponto A(1,1,0)\in\pi.
  2. O ponto B(3,0,3)\in r.
  3. As retas r e s são paralelas.
  4. As retas r e s são reversas (isto é, não coplanares e não se intersectam).
  5. A reta \ell:\begin{cases}x=t\\\ y=1-t\\\ z=2t+2\end{cases}\] é ortogonal à reta \(r.
  6. O vetor \vec{v}=(1,2,1) é paralelo ao plano \pi.
  7. O vetor \vec{a}=(2,-1,1) é ortogonal ao plano \pi.
  8. O plano \pi é ortogonal ao plano \alpha: x+2y-z=0.]

Passo 2

Como verificar se um ponto pertence a um plano: para P(x_0,y_0,z_0) no plano dado por ax+by+cz+d=0 basta substituir as coordenadas e ver se a igualdade é satisfeita; se sim, o ponto pertence, senão não pertence.
Aplicando isso à afirmação 1 com A(1,1,0) e \pi:2x-y+z-3=0:
2\cdot 1 - 1 + 0 - 3 = 2-1-3 = -2 \neq 0.
Conclusão: A\notin\pi. A afirmação 1 é Falsa.

Passo 3

Para ver se B(3,0,3) pertence à reta r, escrevemos um ponto genérico de r e igualamos às coordenadas de B:
x=1+t=3 \Rightarrow t=2.
Com t=2,
y=-2+t=-2+2=0,\qquad z=3.
As coordenadas coincidem com B(3,0,3). Portanto B\in r. A afirmação 2 é Verdadeira.

Passo 4

Direções das retas: a partir das equações paramétricas.
  • Para r, a direção é o vetor
\vec{d_r}=(1,1,0)
(vindo dos coeficientes de t em x,y,z).
  • Para s, escrevendo x=2+\lambda,\; y=-1-\lambda,\; z=1+2\lambda, a direção é
\vec{d_s}=(1,-1,2).
Duas retas são paralelas se e somente se seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro. Verificamos se existe k tal que \vec{d_r}=k\vec{d_s}. Comparando componentes:
(1,1,0)=k(1,-1,2).
Da primeira componente 1=k. Da segunda componente 1=-k\Rightarrow k=-1. Já dá contradição ( k não pode ser simultaneamente 1 e -1). Logo não são paralelas. A afirmação 3 é Falsa.

Passo 5

Para decidir se duas retas não paralelas se intersectam ou são reversas (skew): tentar resolver o sistema que iguala um ponto genérico de r e de s. Se existir solução com os parâmetros, intersectam; se não existir e não forem paralelas, então são reversas.
Igualando r(t)=(1+t,\,-2+t,\,3) e s(\lambda)=(2+\lambda,\,-1-\lambda,\,1+2\lambda):
1+t=2+\lambda,\qquad -2+t=-1-\lambda,\qquad 3=1+2\lambda.
Da terceira equação:
1+2\lambda=3\Rightarrow 2\lambda=2\Rightarrow \lambda=1.
Substituindo \lambda=1 na primeira:
1+t=2+1=3\Rightarrow t=2.
Na segunda:
-2+t=-1-\lambda=-1-1=-2\Rightarrow -2+2=-2\Rightarrow 0=-2,
o que é uma contradição (a conta mostra que, com \lambda=1 e t=2, a segunda igualdade não é satisfeita). (Observação: se em vez de resolver pela terceira eq tivéssemos seguido outro caminho, chegamos na mesma incompatibilidade.) Portanto não existe solução comum: as retas não se intersectam. Como já vimos que não são paralelas, elas são reversas (skew). A afirmação 4 é Verdadeira.

Passo 6

Definição e teste de ortogonalidade entre retas: duas retas são ortogonais se os seus vetores diretores têm produto escalar zero.
Reta \ell\) dada por \[\ell:\begin{cases}x=t,\\\ y=1-t,\\\ z=2t+2\end{cases}
tem vetor direção
\vec{d_\ell}=(1,-1,2).
Recorde que já obtivemos (\vec{d_r}=(1,1,0)]. Calculamos o produto escalar:
\vec{d_r}\cdot\vec{d_\ell}=(1,1,0)\cdot(1,-1,2)=1\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 0\cdot 2 = 1-1+0 = 0.
Como o produto escalar é zero, as retas são ortogonais entre si. A afirmação 5 é Verdadeira.

Passo 7

Teste de paralelismo de um vetor com um plano: um vetor \vec{v} é paralelo a um plano ax+by+cz+d=0 se e só se \vec{v} é ortogonal ao vetor normal do plano \vec{n}=(a,b,c); isto é, se \vec{v}\cdot\vec{n}=0.
Aqui o plano \pi tem vetor normal
\vec{n_\pi}=(2,-1,1).
Para \vec{v}=(1,2,1) calculamos:
\vec{v}\cdot\vec{n_\pi}= (1,2,1)\cdot(2,-1,1)=1\cdot 2 + 2\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 2-2+1 = 1 \neq 0.
Como o produto escalar não é zero, \vec{v} não é ortogonal ao normal, portanto \vec{v} não é paralelo ao plano \pi. A afirmação 6 é Falsa.

Passo 8

Um vetor é ortogonal a um plano quando é paralelo ao vetor normal do plano. O vetor dado
\vec{a}=(2,-1,1)
é exatamente igual ao normal \vec{n_\pi}=(2,-1,1) do plano \pi. Logo \vec{a} é ortogonal ao plano. A afirmação 7 é Verdadeira.

Passo 9

Ortogonalidade entre planos: dois planos são ortogonais se e somente se seus vetores normais são ortogonais (produto escalar zero).
O plano \pi tem \vec{n_\pi}=(2,-1,1). O plano \alpha tem normal \vec{n_\alpha}=(1,2,-1).
Calculemos o produto escalar:
\vec{n_\pi}\cdot\vec{n_\alpha}=(2,-1,1)\cdot(1,2,-1)=2\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 1\cdot(-1)=2-2-1=-1\neq 0.
Como o produto escalar não é zero, os planos não são ortogonais. A afirmação 8 é Falsa.

Resposta

( 1) F
( 2) V
( 3) F
( 4) V
( 5) V
( 6) F
( 7) V
( 8) F

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