Um detector estacionário mede a frequência de uma fonte sonora. Inicialmente a fonte se aproxima do deterctor, passando pelo detector e se afastando com velocidade constante e em linha reta. Considerando que a frequência emitida pela fonte é f. E que durante a aproximação, a frequência detectada é fa p e durante o afastamento é fa f. Dados que (fa p-fa f) / f=0, 5 0 0. Dertermine a razão vs / v, entre a velocidade da fonte e velocidade de som?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem um detector parado e uma fonte sonora que se aproxima e depois se afasta com velocidade constante fap-faff = 0,500 . A frequência emitida é . Quando a fonte vai em nossa direção, o detector capta ; quando ela se afasta, capta .
Eles nos dão
e pedem a razão , onde é a velocidade do som.
Conteúdo: efeito Doppler para fonte móvel. Vamos precisar da fórmula de Doppler para fonte em movimento e fazer umas contas de álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, lembra a fórmula do efeito Doppler quando quem se mexe é a fonte (observador parado):
  • Se a fonte se aproxima, a frequência detectada é
fap ;=; f,v,v - vs,
  • Se a fonte se afasta, é
faf ;=; f,v,v + vs,
A ideia é que, ao se aproximar, as cristas do som “encolhem” e aumentam ; ao se afastar, se “esticam” e diminuem .

Passo 3

Vamos usar essas duas expressões para montar a diferença normalizada:
fap-faff =,f,vv - vs-f,vv + vs,f =vv - vs-vv + vs
Eles dizem que isso vale .

Passo 4

Agora é só juntar as frações:
vv - vs-vv + vs = v;(v+vs)-(v-vs)(v-vs)(v+vs) = v;2vsv^2 - vs^2 = 2,v,vsv^2 - vs^2
Então temos
fap-faff = 2,v,vs,v^2 - vs^2, = 0,500

Passo 5

Para simplificar, define 2,v,(v,x)v^2 - (v,x)^2 = 2,v^2,xv^2(1 - x^2) = 2x1 - x^2 = 0,5 . A equação vira
2x = 0,5,(1 - x^2) Longrightarrow 2x = 0,5 - 0,5x^2
Multiplicando ambos os lados por 0,5x^2 + 2x - 0,5 = 0 Longrightarrow x^2 + 4x - 1 = 0 :
x = -2 + raiz4 + 1 = -2 + raiz5
Reorganizando tudo num lado:
Essa é uma equação quadrática. A solução positiva (já que ) é

Resposta

boxedvsv = raiz5 - 2 approx 0,236

Exercícios relacionados