Um fio transportando corrente tem a forma de um arco de círculo de raio R e está compreendido entre os ângulos theta=0 e theta=pi no plano desta prova. Sabendo-se que existe um campo magnético B apontando para fora deste plano e que a corrente i tem sentido horário, qual a força total sobre este fio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um fio que forma um arco de círculo com raio R, indo do ângulo theta=0 até theta=pi. Tem um campo magnético B apontando pra fora do plano, e a corrente i está fluindo no sentido horário. Nosso objetivo é descobrir qual é a força total que age sobre esse fio. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de força magnética em correntes elétricas, especificamente a lei de Lorentz.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a força magnética atua em um elemento de comprimento do fio. A força sobre um pedaço pequeno do fio é dada pela fórmula:
dF = i , dL times B
Aqui, dL é um vetor diferencial que representa a direção do fio e o sentido da corrente, e times indica o produto vetorial.

Passo 3

Como o fio é um arco de círculo, podemos expressar o elemento dL em termos do ângulo theta. No nosso caso, dL tem a direção tangente ao círculo. Se considerarmos o ângulo theta variando de 0 a pi, temos:
dL = R , dtheta , t
Onde t é o vetor unitário tangente no ponto considerado.

Passo 4

O campo magnético B está apontando para fora do plano, podemos representá-lo como:
B = B , k
Onde k é o vetor unitário na direção perpendicular ao plano.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial dL times B. Dado que dL é tangente e B está na direção k, o produto vetorial vai nos dar a direção e o sentido da força em cada ponto do fio.
dF = i , (R , dtheta , t) times (B , k) = i R B , dtheta , (t times k)
Sabemos que t times k resulta em um vetor radial, que aponta para o centro do círculo quando a corrente é no sentido horário.

Passo 6

Integrando essa força ao longo de todo o arco, de theta=0 a theta=pi, temos:
F = integral0^pi i R B , dtheta , (t times k)
Como (t times k) aponta sempre radialmente para o centro e sua magnitude é constante, a integração simplifica para:
F = i R B ( integral0^pi dtheta ) , r
Onde r é o vetor unitário radial.

Passo 7

Calculando a integral:
integral0^pi dtheta = pi
Então, a força total fica:
F = i R B pi , r

Passo 8

No entanto, precisamos considerar a direção dessa força. Como a corrente é no sentido horário, a força resultante em cada ponto aponta para o centro do círculo. Para um arco de pi, as forças de cada lado se somam, resultando em uma força total dirigida para o centro.

Resposta

A força total sobre o fio é:
F = i , pi R B , r
Essa força está direcionada para o centro do arco.

Exercícios relacionados