Um fio transportando corrente tem a forma de um arco de círculo de raio
e está compreendido entre os ângulos
e
no plano desta prova. Sabendo-se que existe um campo magnético
apontando para fora deste plano e que a corrente
tem sentido horário, qual a força total sobre este fio?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um fio que forma um arco de círculo com raio
, indo do ângulo
até
. Tem um campo magnético
apontando pra fora do plano, e a corrente
está fluindo no sentido horário. Nosso objetivo é descobrir qual é a força total que age sobre esse fio. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de força magnética em correntes elétricas, especificamente a lei de Lorentz.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a força magnética atua em um elemento de comprimento do fio. A força sobre um pedaço pequeno do fio é dada pela fórmula:
Aqui,
é um vetor diferencial que representa a direção do fio e o sentido da corrente, e
indica o produto vetorial.
Passo 3
Como o fio é um arco de círculo, podemos expressar o elemento
em termos do ângulo
. No nosso caso,
tem a direção tangente ao círculo. Se considerarmos o ângulo
variando de
a
, temos:
Onde
é o vetor unitário tangente no ponto considerado.
Passo 4
O campo magnético
está apontando para fora do plano, podemos representá-lo como:
Onde
é o vetor unitário na direção perpendicular ao plano.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. Dado que
é tangente e
está na direção
, o produto vetorial vai nos dar a direção e o sentido da força em cada ponto do fio.
Sabemos que
resulta em um vetor radial, que aponta para o centro do círculo quando a corrente é no sentido horário.
Passo 6
Integrando essa força ao longo de todo o arco, de
a
, temos:
Como
aponta sempre radialmente para o centro e sua magnitude é constante, a integração simplifica para:
Onde
é o vetor unitário radial.
Passo 7
Calculando a integral:
Então, a força total fica:
Passo 8
No entanto, precisamos considerar a direção dessa força. Como a corrente é no sentido horário, a força resultante em cada ponto aponta para o centro do círculo. Para um arco de
, as forças de cada lado se somam, resultando em uma força total dirigida para o centro.
Resposta
A força total sobre o fio é:
Essa força está direcionada para o centro do arco.