Um arco de fio de raio R transporta uma corrente constante i. Sabendo-se que o arco compreende um certo ângulo Phi <= 2 pi, calcule o módulo do campo magnético no centro.

Passo 1

Beleza, então o problema diz o seguinte: a gente tem um arco de fio com raio que transporta uma corrente constante . Esse arco não é a circunferência inteira, mas um pedaço dela que abrange um ângulo (com ). A missão é calcular o módulo do campo magnético no centro desse arco.
Conteúdo: magnetostática, mais especificamente a Lei de Biot-Savart. Vamos precisar dela e saber integrar um pedacinho de fio ao longo do ângulo .

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei de Biot-Savart, que diz que um elemento infinitesimal de corrente dB ;=;mu04pi,i,delltimes rr^2,, gera um campo infinitesimal
onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é o vetor de comprimento infinitesimal na direção da corrente,
  • é o versor que vai do elemento de corrente até o ponto onde calculamos o campo,
  • é a distância desse elemento até o ponto.

Passo 3

No nosso caso:
  • Todo ponto do arco está à mesma distância do centro, dB ;=;mu04pi,i,dellR^2 ;=;mu04pi,i,(R,dphi)R^2 ;=;mu0,i4pi,R,dphi .
  • O ângulo entre e é , então .
  • O comprimento infinitesimal de arco é , com variando de 0 até .
Logo, em módulo:

Passo 4

Agora é só integrar B ;=;integral0^Phi dB ;=;integral0^Phi mu0,i4pi,R,dphi ;=;mu0,i4pi,R,l[phir]0^Phi ;=;mu0,i,Phi4pi,R de até :

Resposta

O módulo do campo magnético no centro do arco é
boxedB ;=;mu0,i,Phi4pi,R

Exercícios relacionados