Deter mine o dominio, imagem e esboce gráfico das funções:
f(x, y)=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{2 x-y}

Passo 1

O que o exercício pede e o que é dado.
  • Pede-se determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função \;f(x,y)=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{2x-y}\;.
  • Informação dada: a expressão de f envolve duas radicais com índice 2 (raízes quadradas). Para a função estar bem definida precisamos que os radicandos sejam não negativos simultaneamente.
  • Então as condições que obtivemos do enunciado (lista das informações relevantes) são: y-x^{2}\ge 0e 2x-y\ge 0.
  • Não vamos resolver nada ainda; apenas identificamos que o domínio será o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem essas duas desigualdades em conjunto.

Passo 2

Transformar as desigualdades em uma descrição do domínio.
  • As desigualdades do passo anterior dão: y\ge x^{2} \quad\text{e}\quad y\le 2x.
  • Portanto o domínio D é o conjunto de pontos do plano entre a parábola y=x^{2} (por baixo) e a reta y=2x (por cima), com interseção onde as duas curvas se encontram.
  • Para saber para quais x existe intervalo não vazio para y devemos ter x^{2}\le 2x.Resolvendo: x^{2}-2x\le 0 \iff x(x-2)\le 0 \iff 0\le x\le 2.
  • Conclusão parcial: o domínio está contido na faixa x\in[0,2] e, para cada x nessa faixa, y varia entre x^{2} e 2x.

Passo 3

Expressar o domínio de forma final e localizar os pontos de fronteira.
  • Assim, o domínio é D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\le x\le 2,\; x^{2}\le y\le 2x\}.
  • As curvas que limitam D são:
    • a parábola y=x^{2} (limite inferior),
    • a reta y=2x (limite superior).
  • Elas se intersectam onde x^{2}=2x, ou seja x=0 e x=2. Os pontos de interseção são (0,0) e (2,4).
  • Observação geométrica útil para o esboço: D é um conjunto fechado e compacto (região limitada e com fronteira inclusa).

Passo 4

Estratégia para achar a imagem (o conjunto de valores que f assume): redução por fatias em x.
  • Para cada x\in[0,2] fixo, considere a função de y g_x(y)=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{2x-y}, \qquad \text{com } y\in[x^{2},2x].
  • Vamos estudar g_x para obter, para cada x, o menor e o maior valor possível; então variaremos x para achar os extremos globais.
  • Técnica prática: é conveniente definir a=y-x^{2}\ge 0,\qquad b=2x-y\ge 0.Repare que a+b=(y-x^{2})+(2x-y)=2x-x^{2}=x(2-x). Esse total S:=a+b depende só de x.

Passo 5

Máximo de g_x(y) para y fixo em termos de S=a+b.
  • Para a,b\ge0 com soma fixa S, queremos maximizar \sqrt a+\sqrt b.
  • Use a identidade (\sqrt a+\sqrt b)^{2}=a+b+2\sqrt{ab}=S+2\sqrt{ab}.Como \sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=\frac{S}{2} (desigualdade aritmético-quadrática ou AM-GM), obtemos (\sqrt a+\sqrt b)^{2}\le S+2\cdot\frac{S}{2}=2S.Portanto \sqrt a+\sqrt b\le \sqrt{2S}.
  • A igualdade ocorre se, e somente se, a=b (porque \sqrt{ab}=(a+b)/2 implica a=b). Voltando às variáveis originais, isso significa y-x^{2}=2x-y \iff 2y=x^{2}+2x \iff y=\frac{x^{2}+2x}{2}.
  • Substituindo S=x(2-x) obtemos o máximo para cada x: \max_{y\in[x^{2},2x]} g_x(y)=\sqrt{2\,x(2-x)}.

Passo 6

Mínimo de g_x(y) para y fixo e análise dos extremos globais.
  • Nos extremos do intervalo de y temos:
    • se y=x^{2} então g_x(y)=\sqrt{0}+\sqrt{2x-x^{2}}=\sqrt{x(2-x)};
    • se y=2x então g_x(y)=\sqrt{2x-x^{2}}+\sqrt{0}=\sqrt{x(2-x)}.
      Ou seja, em ambas as fronteiras g_x vale \sqrt{x(2-x)}.
  • Pelo passo anterior o valor máximo interno é \sqrt{2\,x(2-x)} e é maior do que o valor nas fronteiras (porque \sqrt{2S}>\sqrt{S} para S>0).
  • Portanto, para cada x\in(0,2) o mínimo de g_x no intervalo ocorre nas fronteiras e vale \sqrt{x(2-x)}. Para x=0 ou x=2 ambos os radicandos são zero e g_x\equiv 0.
  • Agora para obter o máximo global precisamos maximizar a função M(x):=\sqrt{2\,x(2-x)} \qquad\text{para }x\in[0,2].É suficiente maximizar x(2-x)=-x^{2}+2x. Derivando ou observando que é uma parábola com vértice em x=1, o máximo ocorre em x=1 e vale 1\cdot(2-1)=1. Logo \max_{(x,y)\in D} f(x,y)=M(1)=\sqrt{2\cdot 1}= \sqrt{2}.
  • O máximo é atingido quando x=1 e y é o ponto médio y=\dfrac{1^{2}+2\cdot1}{2}=\dfrac{3}{2}. Então o ponto de máximo é \left(1,\tfrac{3}{2}\right) com f= \sqrt{2}.
  • O mínimo global é 0, que ocorre em (0,0) e em (2,4) (esses são os pontos onde ambos os radicandos são 0).

Passo 7

Resumo da imagem (conjunto de valores) e justificativa final.
  • A função f assume todos os valores entre o mínimo 0 e o máximo \sqrt{2}, porque o domínio é conexo e f é contínua (soma de raízes contínuas em domínio fechado), então o Teorema do Valor Intermediário garante que todos os valores intermediários aparecem.
  • Conclusão: a imagem é o intervalo fechado f(D)=[0,\sqrt{2}].

Passo 8

Como esboçar o gráfico (orientações práticas, passo a passo para desenhar na prova).
  • Primeiro desenhe no plano xy:
    1. A parábola y=x^{2}.
    2. A reta y=2x.
    3. Sombras a região entre elas para x entre 0 e 2; essa é a projeção do domínio no plano.
    4. Marque os pontos de interseção (0,0) e (2,4).
  • Para a superfície z=f(x,y):
    1. Em cada vertical sobre um x fixo, o perfil z em função de y é uma curva que tem máximo no meio y=\dfrac{x^{2}+2x}{2} e toma o mesmo valor \sqrt{x(2-x)} nas duas entradas da fronteira y=x^{2} e y=2x.
    2. A “crista” (linha de máximos) na superfície é o gráfico do segmento \{(x,y,z): y=\dfrac{x^{2}+2x}{2},\\ z=\sqrt{2\,x(2-x)},\\\ 0\le x\le2\}. Essa crista atinge z=\sqrt{2} em x=1.
    3. Nas fronteiras do domínio a superfície vale z=\sqrt{x(2-x)}, que é zero em x=0 e x=2 e tem forma de arco para x\in[0,2].
  • Dica prática para o desenho: represente a crista (linha de cumeeira) acima do domínio e “puxe” a superfície para baixo até tocar as duas curvas de fronteira na mesma altura; a superfície tem formato de tenda arredondada com máximo em (1,\tfrac{3}{2},\sqrt2) e toca o solo em (0,0,0) e (2,4,0).

Resposta

Domínio: \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\le x\le 2,\; x^{2}\le y\le 2x\}.
Imagem: \displaystyle f(D)=[0,\sqrt{2}].
Esboço do gráfico: superfície z=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{2x-y} sobre o domínio D; tem máximo z=\sqrt{2} em \left(1,\tfrac{3}{2}\right) e zeros em (0,0) e (2,4).

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