Deter mine o dominio, imagem e esboce gráfico das funções:
Passo 1
O que o exercício pede e o que é dado.
- Pede-se determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
- Informação dada: a expressão de
envolve duas radicais com índice (raízes quadradas). Para a função estar bem definida precisamos que os radicandos sejam não negativos simultaneamente. - Então as condições que obtivemos do enunciado (lista das informações relevantes) são:
e - Não vamos resolver nada ainda; apenas identificamos que o domínio será o conjunto dos pontos
que satisfazem essas duas desigualdades em conjunto.
Passo 2
Transformar as desigualdades em uma descrição do domínio.
- As desigualdades do passo anterior dão:
- Portanto o domínio
é o conjunto de pontos do plano entre a parábola (por baixo) e a reta (por cima), com interseção onde as duas curvas se encontram. - Para saber para quais
existe intervalo não vazio para devemos ter Resolvendo: - Conclusão parcial: o domínio está contido na faixa
e, para cada nessa faixa, varia entre e .
Passo 3
Expressar o domínio de forma final e localizar os pontos de fronteira.
- Assim, o domínio é
- As curvas que limitam
são: - a parábola
(limite inferior), - a reta
(limite superior).
- a parábola
- Elas se intersectam onde
, ou seja e . Os pontos de interseção são e . - Observação geométrica útil para o esboço:
é um conjunto fechado e compacto (região limitada e com fronteira inclusa).
Passo 4
Estratégia para achar a imagem (o conjunto de valores que
assume): redução por fatias em
.
- Para cada
fixo, considere a função de - Vamos estudar
para obter, para cada , o menor e o maior valor possível; então variaremos para achar os extremos globais. - Técnica prática: é conveniente definir
Repare que . Esse total depende só de .
Passo 5
Máximo de
para
fixo em termos de
.
- Para
com soma fixa , queremos maximizar . - Use a identidade
Como (desigualdade aritmético-quadrática ou AM-GM), obtemos Portanto - A igualdade ocorre se, e somente se,
(porque implica ). Voltando às variáveis originais, isso significa - Substituindo
obtemos o máximo para cada :
Passo 6
Mínimo de
para
fixo e análise dos extremos globais.
- Nos extremos do intervalo de
temos: - se
então ; - se
então .
Ou seja, em ambas as fronteirasvale .
- se
- Pelo passo anterior o valor máximo interno é
e é maior do que o valor nas fronteiras (porque para ). - Portanto, para cada
o mínimo de no intervalo ocorre nas fronteiras e vale . Para ou ambos os radicandos são zero e . - Agora para obter o máximo global precisamos maximizar a função
É suficiente maximizar . Derivando ou observando que é uma parábola com vértice em , o máximo ocorre em e vale . Logo - O máximo é atingido quando
e é o ponto médio . Então o ponto de máximo é com . - O mínimo global é
, que ocorre em e em (esses são os pontos onde ambos os radicandos são ).
Passo 7
Resumo da imagem (conjunto de valores) e justificativa final.
- A função
assume todos os valores entre o mínimo e o máximo , porque o domínio é conexo e é contínua (soma de raízes contínuas em domínio fechado), então o Teorema do Valor Intermediário garante que todos os valores intermediários aparecem. - Conclusão: a imagem é o intervalo fechado
Passo 8
Como esboçar o gráfico (orientações práticas, passo a passo para desenhar na prova).
- Primeiro desenhe no plano
: - A parábola
. - A reta
. - Sombras a região entre elas para
entre e ; essa é a projeção do domínio no plano. - Marque os pontos de interseção
e .
- A parábola
- Para a superfície
: - Em cada vertical sobre um
fixo, o perfil em função de é uma curva que tem máximo no meio e toma o mesmo valor nas duas entradas da fronteira e . - A “crista” (linha de máximos) na superfície é o gráfico do segmento
. Essa crista atinge em . - Nas fronteiras do domínio a superfície vale
, que é zero em e e tem forma de arco para .
- Em cada vertical sobre um
- Dica prática para o desenho: represente a crista (linha de cumeeira) acima do domínio e “puxe” a superfície para baixo até tocar as duas curvas de fronteira na mesma altura; a superfície tem formato de tenda arredondada com máximo em
e toca o solo em e .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço do gráfico: superfície
sobre o domínio
; tem máximo
em
e zeros em
e
.