Deter mine o dominio, imagem e esboce gráfico das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede três coisas: determinar (1) o domínio, (2) a imagem (conjunto de valores possíveis de
) e (3) esboçar o gráfico da função (a superfície em
).
Informações relevantes que já temos e que vou usar: a função é uma razão (fração) e, portanto, valores de que zerem o denominador devem ser excluídos.
Informações relevantes que já temos e que vou usar: a função é uma razão (fração) e, portanto, valores de
Passo 2
Determinar o domínio (regra básica): uma expressão do tipo
só está bem definida se o denominador for diferente de zero. Aqui o denominador é
. Então imponho
Resolvendo,
Portanto, todo par
com
é permitido. Escrevendo isso de forma direta:
Comentário didático: o valor de
é livre para qualquer número real desde que
não seja
. Isso é porque o denominador depende só de
.
Passo 3
Determinar a imagem (intuição e prova simples): quero saber quais valores
podem aparecer como
. Uma maneira prática é mostrar que para algum valor fixo de
(válido) a expressão em
atinge todos os reais. Escolho
(que é permitido porque
). Para
temos
Quando
percorre todos os reais,
também percorre todos os reais. Logo todo
é alcançado por
para algum
. Logo a imagem é
. Formalizando com uma equação inversa: para dado
e qualquer
podemos resolver para
:
que é uma expressão válida para qualquer
(escolhendo qualquer
). Portanto
Passo 4
Interpretação geométrica do gráfico: o gráfico de
é o conjunto de pontos
tais que
. Escrevo a equação que relaciona
:
Multiplicando ambos os lados por
(válido para
) obtenho uma relação linear entre
:
Rearranjando para isolar
,
Observe que essa é uma equação linear em
: é a equação de um plano em
.
Passo 5
Qual é então o gráfico exatamente? A equação acima mostra que a superfície que descreve os pontos
satisfaz a equação do plano
Porém atenção: o domínio da função exclui
. Se eu imponho
na equação do plano, o lado esquerdo fica
e o lado direito exige
, isto é
. Portanto o plano intersecta o plano vertical
ao longo da reta
Mas como
não pertence ao domínio de
, todos os pontos dessa reta estão excluídos do gráfico de
. Conclusão geométrica limpa:
o gráfico de é exatamente o plano dado por
com a reta
removida. Em palavras: um plano no espaço com uma linha vertical (paralela ao eixo
) cortada fora.
o gráfico de
Passo 6
Comportamento perto da reta excluída (assintótica): para
com
fixo diferente de
, o numerador
tende a
enquanto o denominador tende a
, logo
. Isso significa que o gráfico apresenta uma “assíntota vertical” na vizinhança da reta
. Se você se aproxima do ponto
por diferentes trajetórias, pode obter diferentes limites para
— portanto não há um valor único definido ali; todavia a reta inteira
pertence ao fecho (fechamento) do gráfico: qualquer ponto dessa reta é limite de pontos do gráfico (basta escolher
aproximando
e ajustar
conforme
para convergir a qualquer
).
Passo 7
Curvas de nível e cortes que ajudam a esboçar: tomar cortes ajuda a visualizar.
- Cortes por planos
(curvas de nível no plano ): fixando obtemos que é uma reta no plano de coeficiente angular e intercepto . Assim, cada valor de corresponde a uma reta no plano : isso confirma que a superfície é plana (cada nível é uma reta). - Cortes por planos
constante: para fixo, a dependência em é afim: ou seja, em cada plano a interseção é uma reta (em -plano) com coeficiente - . - Exemplos numéricos úteis para o esboço:
(reta no plano ); . Esses cortes mostram retas inclinadas que juntas formam a superfície plana.
Como desenhar (passos práticos): desenhe um plano em
determinado por
. Depois marque a reta vertical
e risca essa reta (ela não pertence ao gráfico). Indique que ao se aproximar dessa reta,
tende ao infinito (exceto em trajetórias específicas), mostrando assim uma “falha” vertical na superfície.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: a superfície plana dada por (equivalente a
) com a reta vertical
removida.
Imagem:
Gráfico: a superfície plana dada por