Deter mine o dominio, imagem e esboce gráfico das funções:
f(x, y)=\frac{3 x-y}{4 x-2}

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{3x-y}{4x-2}
e pede três coisas: determinar (1) o domínio, (2) a imagem (conjunto de valores possíveis de f) e (3) esboçar o gráfico da função (a superfície em \mathbb{R}^3).
Informações relevantes que já temos e que vou usar: a função é uma razão (fração) e, portanto, valores de (x,y) que zerem o denominador devem ser excluídos.

Passo 2

Determinar o domínio (regra básica): uma expressão do tipo \frac{\text{numerador}}{\text{denominador}} só está bem definida se o denominador for diferente de zero. Aqui o denominador é 4x-2. Então imponho
4x-2 \neq 0.
Resolvendo,
4x-2\neq0 \Longrightarrow 4x\neq2 \Longrightarrow x\neq\frac{1}{2}.
Portanto, todo par (x,y)\in\mathbb{R}^2 com x\neq\tfrac{1}{2} é permitido. Escrevendo isso de forma direta:
\text{Domínio } D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq\tfrac{1}{2}\}.í
Comentário didático: o valor de y é livre para qualquer número real desde que x não seja \tfrac{1}{2}. Isso é porque o denominador depende só de x.

Passo 3

Determinar a imagem (intuição e prova simples): quero saber quais valores z\in\mathbb{R} podem aparecer como z=f(x,y). Uma maneira prática é mostrar que para algum valor fixo de x (válido) a expressão em y atinge todos os reais. Escolho x=0 (que é permitido porque 0\neq\tfrac{1}{2}). Para x=0 temos
f(0,y)=\frac{3\cdot 0 - y}{4\cdot 0 - 2}=\frac{-y}{-2}=\frac{y}{2}.
Quando y percorre todos os reais, \frac{y}{2} também percorre todos os reais. Logo todo z\in\mathbb{R} é alcançado por f(0,y) para algum y. Logo a imagem é \mathbb{R}. Formalizando com uma equação inversa: para dado z e qualquer x\neq\tfrac{1}{2} podemos resolver para y:
z=\frac{3x-y}{4x-2}\quad\Longrightarrow\quad y=3x-(4x-2)z,
que é uma expressão válida para qualquer z (escolhendo qualquer x\neq\tfrac{1}{2}). Portanto
\text{Imagem } f(\,D\,)=\mathbb{R}.

Passo 4

Interpretação geométrica do gráfico: o gráfico de f é o conjunto de pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 tais que z=f(x,y). Escrevo a equação que relaciona x,y,z:
z=\frac{3x-y}{4x-2}.
Multiplicando ambos os lados por 4x-2 (válido para x\neq\tfrac{1}{2}) obtenho uma relação linear entre x,y,z:
(4x-2)z=3x-y.
Rearranjando para isolar y,
y=3x-(4x-2)z = x(3-4z)+2z.
Observe que essa é uma equação linear em x,y,z: é a equação de um plano em \mathbb{R}^3.

Passo 5

Qual é então o gráfico exatamente? A equação acima mostra que a superfície que descreve os pontos (x,y,z) satisfaz a equação do plano
(4x-2)z=3x-y.
Porém atenção: o domínio da função exclui x=\tfrac{1}{2}. Se eu imponho x=\tfrac{1}{2} na equação do plano, o lado esquerdo fica 0\cdot z=0 e o lado direito exige 3\cdot\tfrac{1}{2}-y=0, isto é y=\tfrac{3}{2}. Portanto o plano intersecta o plano vertical x=\tfrac{1}{2} ao longo da reta
L=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x=\tfrac{1}{2},\\ y=\tfrac{3}{2},\\ z\\ \text{livre}\}.
Mas como x=\tfrac{1}{2} não pertence ao domínio de f, todos os pontos dessa reta estão excluídos do gráfico de f. Conclusão geométrica limpa:
o gráfico de f é exatamente o plano dado por (4x-2)z=3x-y com a reta L removida. Em palavras: um plano no espaço com uma linha vertical (paralela ao eixo z) cortada fora.

Passo 6

Comportamento perto da reta excluída (assintótica): para x\to\tfrac{1}{2} com y fixo diferente de \tfrac{3}{2}, o numerador 3x-y tende a \tfrac{3}{2}-y\neq0 enquanto o denominador tende a 0, logo z\to\pm\infty. Isso significa que o gráfico apresenta uma “assíntota vertical” na vizinhança da reta x=\tfrac{1}{2},y\neq\tfrac{3}{2}. Se você se aproxima do ponto (\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}) por diferentes trajetórias, pode obter diferentes limites para z — portanto não há um valor único definido ali; todavia a reta inteira x=\tfrac{1}{2},y=\tfrac{3}{2} pertence ao fecho (fechamento) do gráfico: qualquer ponto dessa reta é limite de pontos do gráfico (basta escolher x aproximando \tfrac{1}{2} e ajustar y conforme y=3x-(4x-2)z_0 para convergir a qualquer z_0).

Passo 7

Curvas de nível e cortes que ajudam a esboçar: tomar cortes ajuda a visualizar.
  • Cortes por planos z=c (curvas de nível no plano xy): fixando z=c obtemos y=x(3-4c)+2c,que é uma reta no plano xy de coeficiente angular 3-4c e intercepto 2c. Assim, cada valor de z corresponde a uma reta no plano xy: isso confirma que a superfície é plana (cada nível é uma reta).
  • Cortes por planos x= constante: para x\neq\tfrac{1}{2} fixo, a dependência em y é afim: z=\frac{3x-y}{4x-2} = -\frac{1}{4x-2}\,y + \frac{3x}{4x-2},ou seja, em cada plano x=\text{const} a interseção é uma reta (em yz-plano) com coeficiente - 1/(4x-2).
  • Exemplos numéricos úteis para o esboço: f(0,y)=\tfrac{y}{2} (reta no plano x=0); f(1,y)=\tfrac{3-y}{2}. Esses cortes mostram retas inclinadas que juntas formam a superfície plana.
Como desenhar (passos práticos): desenhe um plano em \mathbb{R}^3 determinado por y= x(3-4z)+2z. Depois marque a reta vertical x=\tfrac{1}{2},y=\tfrac{3}{2} e risca essa reta (ela não pertence ao gráfico). Indique que ao se aproximar dessa reta, z tende ao infinito (exceto em trajetórias específicas), mostrando assim uma “falha” vertical na superfície.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq\tfrac{1}{2}\}
Imagem: \mathbb{R}
Gráfico: a superfície plana dada por (4x-2)z=3x-y (equivalente a y=x(3-4z)+2z) com a reta vertical \{x=\tfrac{1}{2},\,y=\tfrac{3}{2},\,z\in\mathbb{R}\} removida.

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