e pergunta se esse conjunto gera \mathbb{R}^3. Ou seja, quer saber se todo vetor de \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S.
O objetivo explícito: decidir se \mathrm{span}(S)=\mathbb{R}^3.]
Passo 2
Vou explicar o que significa "gera \mathbb{R}^3" e uma maneira prática de testar isso.
Definição: \mathrm{span}(S) é o conjunto de todas as combinações lineares
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3,
com \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}. Dizer que S gera \mathbb{R}^3 é dizer que para qualquer vetor w\in\mathbb{R}^3 existe \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que w=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3.
Fato importante usado em provas: em \mathbb{R}^3 três vetores geram \mathbb{R}^3 se, e somente se, são linearmente independentes (ou equivalentemente, se o posto da matriz formada por eles é 3). Assim, testar se geram é testar se são linearmente independentes.
Definição de independência linear: v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema homogêneo
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0
é \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Se existir solução não-trivial, os vetores são linearmente dependentes e então não geram \mathbb{R}^3.
Passo 3
Métodos práticos para testar dependência (comentário didático rápido):
Você pode formar a matriz com essas colunas e calcular o posto por eliminação de Gauss.
Ou pode tentar observar relações entre componentes dos vetores (às vezes é óbvio que um é combinação dos outros).
No caso dado vale tentar olhar as componentes para ver se existe uma relação simples entre v_1,v_2,v_3.
Passo 4
Vou comparar componentes dos vetores explicitamente. Escrevendo cada vetor por linhas:
A igualdade v_3=v_1+v_2 dá imediatamente uma combinação linear não-trivial que soma zero: colocando tudo num lado,
v_1+v_2-v_3=0.
Isso corresponde a escolher \alpha_1=1,\\ \alpha_2=1,\\ \alpha_3=-1 na equação \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0, que é uma solução não-trivial (nem todos os \alpha_i são zero). Portanto v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes.
Consequência: o espaço gerado por S tem dimensão menor que 3. Pelo que vimos, v_1 e v_2 são suficientes para gerar todos os vetores em \mathrm{span}(S), porque v_3 não acrescenta nova direção. Assim \mathrm{span}(S) é um plano (subespaço de dimensão 2) dentro de \mathbb{R}^3, e não todo \mathbb{R}^3.
Passo 6
Resumo prático para usar em prova: ao ver três vetores em \mathbb{R}^3 sempre verifique se algum é combinação dos outros (verifique componentes). Se encontrar essa relação, não geram \mathbb{R}^3. Se não encontrar, faça eliminação de Gauss na matriz cujas colunas são os vetores e verifique se o posto é 3.
Aplicando aqui, encontramos v_3=v_1+v_2, logo os vetores são dependentes e não geram \mathbb{R}^3.