Determina, em cada caso, se os vectores seguintes geram
\mathbb{R}^{3}.
\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 2 \\\\ 2\end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pergunta se os vetores abaixo geram \mathbb{R}^{3}:
\mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_{3}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O que é pedido, portanto, é verificar se qualquer vetor arbitrário \mathbf{b}\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear
\mathbf{b}=c_{1}\mathbf{v}_{1}+c_{2}\mathbf{v}_{2}+c_{3}\mathbf{v}_{3}
para alguns escalares c_{1},c_{2},c_{3}. As informações relevantes são exatamente as coordenadas dos três vetores acima.]

Passo 2

Explicando a ideia necessária (com calma): dizer que um conjunto de vetores gera \mathbb{R}^{3} significa que as colunas formam todas as combinações lineares possíveis em \mathbb{R}^{3}. Uma forma prática de testar isso é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e verificar se ela tem posto 3 (ou seja, é invertível). Se a matriz for invertível, então os vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Construímos a matriz A cujas colunas são \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}:
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e os vetores geram \mathbb{R}^{3}. Vou calcular o determinante (método direto).]

Passo 4

Cálculo do determinante de A expandindo pela primeira linha (porque nela há zeros, simplifica):
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}-0\cdot(\cdots)+0\cdot(\cdots).
Agora calculamos o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot3=-3.
Portanto
\det(A)=2\cdot(-3)=-6.
Como \det(A)=-6\neq 0, a matriz A é invertível. Isso implica que as colunas de A são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}.]

Passo 5

Para reforçar com um método mais elementar (redução por linhas), faço a redução da matriz A até forma escalonada reduzida. Começo com
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Divido a primeira linha por 2 para ter pivô 1:
R_{1}\leftarrow\frac{1}{2}R_{1}\implies \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Elimino os termos abaixo do pivô na coluna 1:
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Troco as linhas 2 e 3 para trazer um pivô para a coluna 2:
R_{2}\leftrightarrow R_{3}\implies \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Normalizo a segunda linha dividindo por 3:
R_{2}\leftarrow\frac{1}{3}R_{2}\implies \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Elimino o elemento \tfrac{1}{3} na posição (2,3) usando a linha 3:
R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac{1}{3}R_{3}\implies \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Chegamos à matriz identidade I_{3}. Isso mostra que o posto de A é 3 e que suas colunas formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Logo qualquer \mathbf{b} tem representação única como combinação linear desses vetores.]

Passo 6

Interpretação final e incentivo: tanto pelo determinante não nulo quanto pela redução por linhas vimos que os três vetores são independentes e têm posto 3. Portanto eles geram \mathbb{R}^{3}. Ótimo — você viu duas formas de testar: via determinante (rápido quando a matriz é 3\times3) e via redução por linhas (mais mecânico e geral).

Resposta

Sim, os vetores geram \mathbb{R}^{3}.

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