para alguns escalares c_{1},c_{2},c_{3}. As informações relevantes são exatamente as coordenadas dos três vetores acima.]
Passo 2
Explicando a ideia necessária (com calma): dizer que um conjunto de vetores gera \mathbb{R}^{3} significa que as colunas formam todas as combinações lineares possíveis em \mathbb{R}^{3}. Uma forma prática de testar isso é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e verificar se ela tem posto 3 (ou seja, é invertível). Se a matriz for invertível, então os vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}.
Passo 3
Construímos a matriz A cujas colunas são \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}:
Chegamos à matriz identidade I_{3}. Isso mostra que o posto de A é 3 e que suas colunas formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Logo qualquer \mathbf{b} tem representação única como combinação linear desses vetores.]
Passo 6
Interpretação final e incentivo: tanto pelo determinante não nulo quanto pela redução por linhas vimos que os três vetores são independentes e têm posto 3. Portanto eles geram \mathbb{R}^{3}. Ótimo — você viu duas formas de testar: via determinante (rápido quando a matriz é 3\times3) e via redução por linhas (mais mecânico e geral).