Mostra que os vectores
\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 4 \\\\ 2 \end{array}\right]
não geram \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá dois vectores em \mathbb{R}^3 e pede para mostrar que eles não geram \mathbb{R}^3. Os dados são:
v_1=\left[\begin{array}{l}1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{array}\right],\qquad v_2=\left[\begin{array}{l}2\\[2pt]4\\[2pt]2\end{array}\right].
A pergunta explícita é: provar que o conjunto \{v_1,v_2\} não gera \mathbb{R}^3, ou seja, que
\mathrm{span}\{v_1,v_2\}\neq\mathbb{R}^3.
Eu só identifiquei o que é pedido e listei as informações dadas; a resolução começa no Passo 2.]

Passo 2

O que significa "gerar \mathbb{R}^3"? Vou explicar isso passo a passo, sem pressa. Dizemos que \{v_1,v_2\} gera \mathbb{R}^3 se todo vector w\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear de v_1 e v_2. Formalmente,
\mathrm{span}\{v_1,v_2\}=\{a v_1 + b v_2 \mid a,b\in\mathbb{R}\}.
Aqui a e b são escalares reais (números) que escolhemos. Se para cada w\in\mathbb{R}^3 existe algum par (a,b) com w=a v_1 + b v_2, então \{v_1,v_2\} gera \mathbb{R}^3. Caso contrário, não gera.

Passo 3

Vou analisar a relação entre v_1 e v_2. Calculo 2v_1:
2v_1=2\left[\begin{array}{l}1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{l}2\\[2pt]4\\[2pt]2\end{array}\right].
Observa-se que o vector obtido é exactamente v_2. Logo
v_2 = 2 v_1.]

Passo 4

A partir de v_2=2v_1 concluímos que v_1 e v_2 são linearmente dependentes: existe uma combinação não trivial que dá o zero, por exemplo
2v_1 - v_2 = 0.
Significado prático: as duas direcções fornecidas por v_1 e v_2 não são independentes — v_2 não acrescenta nenhuma nova direcção além da já dada por v_1.

Passo 5

Por causa da dependência linear, qualquer combinação linear de v_1 e v_2 pode ser reduzida a uma múltiplo de v_1. De facto, para quaisquer a,b\in\mathbb{R},
a v_1 + b v_2 = a v_1 + b(2v_1) = (a+2b)v_1.
Seja t=a+2b. Assim
\mathrm{span}\{v_1,v_2\}=\{t v_1 \mid t\in\mathbb{R}\}.
Isto é, o conjunto das combinações é precisamente a recta (subespaço unidimensional) de todos os múltiplos de v_1, um subespaço de dimensão 1 em \mathbb{R}^3.

Passo 6

Agora mostro de forma directa que essa recta não pode ser todo \mathbb{R}^3. Um argumento claro é apresentar um vector de \mathbb{R}^3 que não pertence à forma (t,2t,t) (porque t v_1=(t,2t,t)). Por exemplo, tome
w=\left[\begin{array}{l}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{array}\right].
Se existisse t\in\mathbb{R} tal que t v_1 = w, teríamos pelas componentes:
primeira componente: t\cdot 1 = 0 logo t=0.
Substituindo na terceira componente: t\cdot 1 = 1 daria 0=1, contradição.
Portanto nenhum t satisfaz t v_1 = w, logo w\notin\mathrm{span}\{v_1,v_2\}. Consequentemente \mathrm{span}\{v_1,v_2\}\neq\mathbb{R}^3.]

Passo 7

Resumo e conclusão em linguagem direta e amiga: os dois vectores estão alinhados (um é múltiplo do outro), as suas combinações lineares geram apenas uma recta em \mathbb{R}^3, e portanto não alcançam todos os vectores de \mathbb{R}^3. Logo não geram \mathbb{R}^3.

Resposta

Não geram \mathbb{R}^3.

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