A pergunta explícita é: provar que o conjunto \{v_1,v_2\} não gera \mathbb{R}^3, ou seja, que
\mathrm{span}\{v_1,v_2\}\neq\mathbb{R}^3.
Eu só identifiquei o que é pedido e listei as informações dadas; a resolução começa no Passo 2.]
Passo 2
O que significa "gerar \mathbb{R}^3"? Vou explicar isso passo a passo, sem pressa. Dizemos que \{v_1,v_2\} gera \mathbb{R}^3 se todo vector w\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear de v_1 e v_2. Formalmente,
\mathrm{span}\{v_1,v_2\}=\{a v_1 + b v_2 \mid a,b\in\mathbb{R}\}.
Aqui a e b são escalares reais (números) que escolhemos. Se para cada w\in\mathbb{R}^3 existe algum par (a,b) com w=a v_1 + b v_2, então \{v_1,v_2\} gera \mathbb{R}^3. Caso contrário, não gera.
Passo 3
Vou analisar a relação entre v_1 e v_2. Calculo 2v_1:
Observa-se que o vector obtido é exactamente v_2. Logo
v_2 = 2 v_1.]
Passo 4
A partir de v_2=2v_1 concluímos que v_1 e v_2 são linearmente dependentes: existe uma combinação não trivial que dá o zero, por exemplo
2v_1 - v_2 = 0.
Significado prático: as duas direcções fornecidas por v_1 e v_2 não são independentes — v_2 não acrescenta nenhuma nova direcção além da já dada por v_1.
Passo 5
Por causa da dependência linear, qualquer combinação linear de v_1 e v_2 pode ser reduzida a uma múltiplo de v_1. De facto, para quaisquer a,b\in\mathbb{R},
Isto é, o conjunto das combinações é precisamente a recta (subespaço unidimensional) de todos os múltiplos de v_1, um subespaço de dimensão 1 em \mathbb{R}^3.
Passo 6
Agora mostro de forma directa que essa recta não pode ser todo \mathbb{R}^3. Um argumento claro é apresentar um vector de \mathbb{R}^3 que não pertence à forma (t,2t,t) (porque t v_1=(t,2t,t)). Por exemplo, tome
Se existisse t\in\mathbb{R} tal que t v_1 = w, teríamos pelas componentes:
primeira componente: t\cdot 1 = 0 logo t=0.
Substituindo na terceira componente: t\cdot 1 = 1 daria 0=1, contradição.
Portanto nenhum t satisfaz t v_1 = w, logo w\notin\mathrm{span}\{v_1,v_2\}. Consequentemente \mathrm{span}\{v_1,v_2\}\neq\mathbb{R}^3.]
Passo 7
Resumo e conclusão em linguagem direta e amiga: os dois vectores estão alinhados (um é múltiplo do outro), as suas combinações lineares geram apenas uma recta em \mathbb{R}^3, e portanto não alcançam todos os vectores de \mathbb{R}^3. Logo não geram \mathbb{R}^3.