1. Determina o domínio de
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-11 x+28}{1-x}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-11x+28}{1-x}}
Aqui o conteúdo é decidir para quais x o radicando
\frac{x^{2}-11x+28}{1-x}
é não-negativo (pois radiciação de índice par exige \ge0) e o denominador não se anula.

Passo 2

Começamos fatorando o numerador e assinalando onde o denominador é zero.
O numerador é
x^{2}-11x+28=(x-7)(x-4),
o denominador é 1-x, que se anula em x=1. Logo podemos escrever
\frac{x^{2}-11x+28}{1-x}=\frac{(x-7)(x-4)}{1-x},
com x\neq1.

Passo 3

Os pontos críticos vindos de zero do numerador ou do denominador são
x=1,\quad x=4,\quad x=7.
Eles dividem a reta em quatro intervalos: (-\infty,1), (1,4), (4,7) e (7,\infty).

Passo 4

Em cada intervalo analisamos o sinal de (x-7)(x-4) e de 1-x:
  • Para x<1: (x-7)<0, (x-4)<0 então (x-7)(x-4)>0; e 1-x>0. Razão >0.
  • Para 1<x<4: (x-7)<0, (x-4)<0 ainda (x-7)(x-4)>0; mas 1-x<0. Razão <0.
  • Para 4<x<7: (x-7)<0, (x-4)>0 então (x-7)(x-4)<0; e 1-x<0. Razão >0.
  • Para x>7: (x-7)>0, (x-4)>0 logo (x-7)(x-4)>0; porém 1-x<0. Razão <0.
Além disso, em x=4 ou x=7 o numerador zera e o denominador é não-zero, produzindo radicando zero, o que é permitido (pois \sqrt{0}=0).

Passo 5

Reunindo as partes onde a razão é \ge0 e excluindo x=1, obtemos o domínio
(-\infty,1)\;\cup\;[4,7].

Resposta

O domínio de f é
(-\infty,1)\cup[4,7].

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