1. Determina o domínio de: f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-8 x+7}{45 x}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-8x+7}{45x}}
ou seja, todos os x\in\mathbb{R} tais que o quociente dentro da raiz seja não-negativo e x diferente de zero (para não anular o denominador). Vamos usar fatoração do numerador e análise de sinal de uma fração.

Passo 2

Fatoramos o numerador:
x^{2}-8x+7=(x-1)(x-7).
Então a condição de existência é
\frac{(x-1)(x-7)}{45x}\ge 0,
com x\neq 0. Como 45>0, podemos simplificar a desigualdade para
\frac{(x-1)(x-7)}{x}\ge 0.

Passo 3

Identificamos os pontos críticos de sinal zero ou indefinição: x=1, x=7 (zeram o numerador) e x=0 (torna a fração indefinida). Dividimos a reta em quatro intervalos e testamos o sinal de \frac{(x-1)(x-7)}{x}:
  • Para x<0: (x-1)<0, (x-7)<0 então o produto do numerador é >0, mas x<0 torna a fração negativa → não satisfaz.
  • Para 0<x<1: (x-1)<0, (x-7)<0 dá numerador >0 e x>0 dá fração positiva → satisfaz.
  • Para 1<x<7: (x-1)>0, (x-7)<0 dá numerador <0 e x>0 dá fração negativa → não satisfaz.
  • Para x>7: (x-1)>0, (x-7)>0 dá numerador >0 e x>0 dá fração positiva → satisfaz.
Além disso, em x=1 e x=7 o numerador é zero, a fração vale zero e a raiz fica definida. Em x=0 a função não existe.

Passo 4

Juntando os intervalos onde a fração é \ge0 e excluindo x=0, obtemos o domínio:
(0,1]\;\cup\;[7,\infty).

Resposta

O domínio de f é \,(0,1]\cup[7,\infty).

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