DETERMINA QUAIS SÃO TODOS OS NÚMEROS NATURAIS DA FORMA
QUE POSSUI 15 DIVISORES
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números naturais da forma
que possuem exatamente 15 divisores.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A forma do número é
, com números naturais (vou considerar naturais como inteiros não negativos: ). - Queremos todos os números dessa forma que têm exatamente 15 divisores positivos.
- Precisamos listar todos os valores possíveis (ou seja, todas as tríades
que geram números com 15 divisores) e escrever os números resultantes.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e prática): se um número inteiro positivo
tem fatoração em primos
onde
são primos distintos e
são inteiros não negativos, então o número de divisores positivos de
é dado por
Explicação intuitiva e exemplo: cada divisor de
é obtido escolhendo um expoente para cada primo entre
e o expoente máximo desse primo; para
há
escolhas (
), e multiplicando as escolhas para cada primo obtemos o total. Ex.: para
temos
divisores (consulte:
).
Aplicando ao nosso caso (sem resolver ainda): para
vale
Passo 3
Como queremos
, precisamos resolver em inteiros não negativos
Fatorização de
:
(primos) e também
. Como cada fator
é um inteiro positivo (pelo menos
), as únicas formas de escrever 15 como produto de três inteiros positivos são, até permutação:
-
, ou seja é uma permutação de . -
, ou seja é uma permutação de .
Agora convertemos de volta aos expoentes: subtraindo
de cada coordenada,
- de
obtemos (e suas permutações): um expoente igual a e os outros dois iguais a . - de
obtemos (e suas permutações): os expoentes são em alguma ordem.
Não há outras possibilidades porque
tem fatoração única em primos e as parcelas devem ser inteiros positivos.
Passo 4
Caso 1: expoentes
(e permutações). Isso gera três números, ao atribuir
a cada primo possível:
-
. Vamos calcular: , , logo . -
. Podemos calcular por e , assim . -
. Um caminho prático: (valor conhecido) e .
Portanto os três números desse caso são, e .
Passo 5
Caso 2: expoentes
(e permutações). Há
permutações distintas dos expoentes em
. Calculemos cada número:
-
: . -
: . -
: . -
: (pois ). -
: . -
: .
Assim, os seis números desse caso são
.
Passo 6
Resumo e justificativa final: examinamos todas as maneiras de escrever
como produto de três inteiros positivos
. Isso deu exatamente as duas famílias de expoentes
(permut.) e
(permut.), e calculamos todos os números correspondentes. Não há outras possibilidades, logo a lista abaixo é completa.