DETERMINA QUAIS SÃO TODOS OS NÚMEROS NATURAIS DA FORMA 2^{x} .3^{y} .7^{z} QUE POSSUI 15 DIVISORES

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números naturais da forma 2^{x}\cdot 3^{y}\cdot 7^{z} que possuem exatamente 15 divisores.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A forma do número é 2^{x}\cdot 3^{y}\cdot 7^{z}, com x,y,z números naturais (vou considerar naturais como inteiros não negativos: 0,1,2,\dots).
  • Queremos todos os números dessa forma que têm exatamente 15 divisores positivos.
  • Precisamos listar todos os valores possíveis (ou seja, todas as tríades (x,y,z) que geram números com 15 divisores) e escrever os números resultantes.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): se um número inteiro positivo n tem fatoração em primos
n = p_{1}^{a}\, p_{2}^{b}\, p_{3}^{c}\cdots,
onde p_{1},p_{2},\dots são primos distintos e a,b,c,\dots são inteiros não negativos, então o número de divisores positivos de n é dado por
\tau(n)=(a+1)(b+1)(c+1)\cdots.
Explicação intuitiva e exemplo: cada divisor de n é obtido escolhendo um expoente para cada primo entre 0 e o expoente máximo desse primo; para p_{1}^{a} a+1 escolhas ( 0,1,\dots,a), e multiplicando as escolhas para cada primo obtemos o total. Ex.: para 2^{2}\cdot3^{1} temos (2+1)(1+1)=3\cdot2=6 divisores (consulte: 1,2,4,3,6,12).
Aplicando ao nosso caso (sem resolver ainda): para n=2^{x}3^{y}7^{z} vale
\tau(n)=(x+1)(y+1)(z+1).

Passo 3

Como queremos \tau(n)=15, precisamos resolver em inteiros não negativos
(x+1)(y+1)(z+1)=15.
Fatorização de 15: 15=3\cdot5 (primos) e também 15=15\cdot1\cdot1. Como cada fator (x+1),(y+1),(z+1) é um inteiro positivo (pelo menos 1), as únicas formas de escrever 15 como produto de três inteiros positivos são, até permutação:
  • 15=15\cdot1\cdot1, ou seja (x+1,y+1,z+1) é uma permutação de (15,1,1).
  • 15=5\cdot3\cdot1, ou seja (x+1,y+1,z+1) é uma permutação de (5,3,1).
Agora convertemos de volta aos expoentes: subtraindo 1 de cada coordenada,
  • de (15,1,1) obtemos (14,0,0) (e suas permutações): um expoente igual a 14 e os outros dois iguais a 0.
  • de (5,3,1) obtemos (4,2,0) (e suas permutações): os expoentes são 4,2,0 em alguma ordem.
Não há outras possibilidades porque 15 tem fatoração única em primos e as parcelas devem ser inteiros positivos.

Passo 4

Caso 1: expoentes (14,0,0) (e permutações). Isso gera três números, ao atribuir 14 a cada primo possível:
  • x=14,y=0,z=0 \Rightarrow n=2^{14}. Vamos calcular: 2^{10}=1024, 2^{4}=16, logo 2^{14}=1024\cdot16=16384.
  • x=0,y=14,z=0 \Rightarrow n=3^{14}. Podemos calcular por 3^{10}=59049 e 3^{4}=81, assim 3^{14}=59049\cdot81=4\,782\,969.
  • x=0,y=0,z=14 \Rightarrow n=7^{14}. Um caminho prático: 7^{7}=823543 (valor conhecido) e 7^{14}=(7^{7})^{2}=823543^{2}=678\,223\,072\,849.
    Portanto os três números desse caso são 2^{14}=16384, 3^{14}=4\,782\,969 e 7^{14}=678\,223\,072\,849.

Passo 5

Caso 2: expoentes (4,2,0) (e permutações). Há 3!=6 permutações distintas dos expoentes em (x,y,z). Calculemos cada número:
  1. (x,y,z)=(4,2,0) : n=2^{4}\cdot3^{2}\cdot7^{0}=16\cdot9\cdot1=144.
  2. (x,y,z)=(4,0,2) : n=2^{4}\cdot3^{0}\cdot7^{2}=16\cdot1\cdot49=784.
  3. (x,y,z)=(2,4,0) : n=2^{2}\cdot3^{4}\cdot7^{0}=4\cdot81\cdot1=324.
  4. (x,y,z)=(2,0,4) : n=2^{2}\cdot3^{0}\cdot7^{4}=4\cdot1\cdot2401=9604 (pois 7^{4}=2401).
  5. (x,y,z)=(0,4,2) : n=2^{0}\cdot3^{4}\cdot7^{2}=1\cdot81\cdot49=3\,969.
  6. (x,y,z)=(0,2,4) : n=2^{0}\cdot3^{2}\cdot7^{4}=1\cdot9\cdot2401=21\,609.
Assim, os seis números desse caso são 144,784,324,9604,3\,969,21\,609.

Passo 6

Resumo e justificativa final: examinamos todas as maneiras de escrever 15 como produto de três inteiros positivos (x+1)(y+1)(z+1). Isso deu exatamente as duas famílias de expoentes (14,0,0) (permut.) e (4,2,0) (permut.), e calculamos todos os números correspondentes. Não há outras possibilidades, logo a lista abaixo é completa.

Resposta

2^{14}=16384
3^{14}=4\,782\,969
7^{14}=678\,223\,072\,849
2^{4}\cdot3^{2}=144
2^{4}\cdot7^{2}=784
2^{2}\cdot3^{4}=324
2^{2}\cdot7^{4}=9\,604
3^{4}\cdot7^{2}=3\,969
3^{2}\cdot7^{4}=21\,609

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