PROVE
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que
.
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo que preciso está aqui):
-
é um subconjunto de um conjunto universo . - Por definição, o complemento de
(relativo a ) é
- Igualdade entre conjuntos significa que eles têm exatamente os mesmos elementos; formalmente, dois conjuntos
e são iguais se, e somente se, para todo , valem .
A resolução começa agora.
Passo 2
Explicação didática da ideia que vou usar (element‑chasing): para provar uma igualdade de conjuntos do tipo
eu mostro que, para um elemento arbitrário
, vale
se, e somente se,
. Também revisamos a definição de complemento:
significa exatamente
. Essa é a ferramenta central: transformar afirmações sobre pertencer ou não pertencer usando equivalências lógicas simples (dupla negação, contraposição, etc.).
Exemplo concreto e curto para intuir: tome
e
. Então
. O complemento de
é
. E o complemento novamente dá
. No exemplo vemos que
. Agora vamos provar isso em geral.
Passo 3
Lema útil (dupla complementar):
. Prova do lema por elemento arbitrário:
Seja
arbitrário. Então
pela definição de complemento. Mas, por definição de
,
Aplicando dupla negação (regra lógica básica:
) obtemos
Compondo as equivalências temos
Como isso vale para todo
, concluímos
. Comentário: essa propriedade é clássica — o operador complemento é involutivo: aplicá‑lo duas vezes te traz de volta o conjunto original.
Passo 4
Agora aplicamos o lema para provar a igualdade desejada. Começo com um elemento arbitrário
e faço a cadeia de equivalências:
(pela definição de complemento). Usando o lema
do Passo 3, isso é equivalente a
Mas, pela definição de complemento,
é exatamente
. Portanto
Como a equivalência vale para todo
, concluímos que os dois conjuntos são iguais:
Passo 5
Resumo final e motivação prática: a ideia foi usar que a definição de complemento troca “pertence” por “não pertence” e que aplicar “não” duas vezes anula a negação. Assim a dupla complementar volta ao conjunto original, e a complementarização três vezes dá o mesmo que uma vez. Isso é útil na prova e em manipulações algébricas de conjuntos (às vezes é mais simples trabalhar com complementos que com interseções/uniões).