PROVE
\left(\left(A^{c}\right)^{c}\right)^{c}=A^{c}

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que \left(\left(A^{c}\right)^{c}\right)^{c}=A^{c}.
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo que preciso está aqui):
  • A é um subconjunto de um conjunto universo U.
  • Por definição, o complemento de A (relativo a U) é
A^{c}=\{x\in U \mid x\notin A\}.
  • Igualdade entre conjuntos significa que eles têm exatamente os mesmos elementos; formalmente, dois conjuntos X e Y são iguais se, e somente se, para todo x\in U, valem x\in X \iff x\in Y.
A resolução começa agora.

Passo 2

Explicação didática da ideia que vou usar (element‑chasing): para provar uma igualdade de conjuntos do tipo X=Y eu mostro que, para um elemento arbitrário x\in U, vale x\in X se, e somente se, x\in Y. Também revisamos a definição de complemento: x\in A^{c} significa exatamente x\notin A. Essa é a ferramenta central: transformar afirmações sobre pertencer ou não pertencer usando equivalências lógicas simples (dupla negação, contraposição, etc.).
Exemplo concreto e curto para intuir: tome U=\{1,2,3,4\} e A=\{1,2\}. Então A^{c}=\{3,4\}. O complemento de A^{c} é (A^{c})^{c}=A=\{1,2\}. E o complemento novamente dá ((A^{c})^{c})^{c}=(A)^{c}=\{3,4\}. No exemplo vemos que ((A^{c})^{c})^{c}=A^{c}. Agora vamos provar isso em geral.

Passo 3

Lema útil (dupla complementar): (A^{c})^{c}=A. Prova do lema por elemento arbitrário:
Seja x\in U arbitrário. Então
x\in (A^{c})^{c} \iff x\notin A^{c}
pela definição de complemento. Mas, por definição de A^{c},
x\notin A^{c} \iff \neg(x\notin A).
Aplicando dupla negação (regra lógica básica: \neg(\neg P)\iff P) obtemos
\neg(x\notin A)\iff x\in A.
Compondo as equivalências temos
x\in (A^{c})^{c} \iff x\in A.
Como isso vale para todo x\in U, concluímos (A^{c})^{c}=A. Comentário: essa propriedade é clássica — o operador complemento é involutivo: aplicá‑lo duas vezes te traz de volta o conjunto original.

Passo 4

Agora aplicamos o lema para provar a igualdade desejada. Começo com um elemento arbitrário x\in U e faço a cadeia de equivalências:
x\in \bigl((A^{c})^{c}\bigr)^{c} \iff x\notin (A^{c})^{c}
(pela definição de complemento). Usando o lema (A^{c})^{c}=A do Passo 3, isso é equivalente a
x\notin A.
Mas, pela definição de complemento, x\notin A é exatamente x\in A^{c}. Portanto
x\in \bigl((A^{c})^{c}\bigr)^{c} \iff x\in A^{c}.
Como a equivalência vale para todo x\in U, concluímos que os dois conjuntos são iguais:
\bigl((A^{c})^{c}\bigr)^{c}=A^{c}.

Passo 5

Resumo final e motivação prática: a ideia foi usar que a definição de complemento troca “pertence” por “não pertence” e que aplicar “não” duas vezes anula a negação. Assim a dupla complementar volta ao conjunto original, e a complementarização três vezes dá o mesmo que uma vez. Isso é útil na prova e em manipulações algébricas de conjuntos (às vezes é mais simples trabalhar com complementos que com interseções/uniões).

Resposta

\bigl((A^{c})^{c}\bigr)^{c}=A^{c}

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