DETERMINA QUAIS SÃO TODOS OS NÚMEROS NATURAIS DA FORMA
QUE POSSUI 10 DIVISORES
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números naturais da forma
que têm exatamente
divisores.
Informações dadas e suposições necessárias (sem pedir nada a você): é o expoente de primos na expressão, portanto devemos assumir que
é um número inteiro não negativo, isto é,
(caso contrário a expressão não seria um número natural). Logo estamos procurando todos os
tais que o número
tem
divisores.
Informações dadas e suposições necessárias (sem pedir nada a você):
Passo 2
Vamos aprender como contar divisores de um número inteiro dado pela fatoração em primos. Regra fundamental:
então o número de divisores positivos de
é
Explicação didática: qualquer divisor de
é obtido escolhendo, para cada primo
, um expoente
entre
e
. Há
escolhas para
. Como as escolhas são independentes entre primos, multiplicamos as quantidades de escolhas. Exemplo simples: para
temos
divisores.
Passo 3
Aplique a regra ao nosso número. Para
os expoentes são
(para o primo
) e
(para o primo
). Portanto o número de divisores é
Queremos
. Logo precisamos resolver, em inteiros não negativos
,
Passo 4
Agora resolvemos a equação para
. Uma maneira direta e segura em prova é testar os primeiros valores de
, porque para
a função
é crescente (produtos de fatores crescentes):
- Para
temos . - Para
temos . - Para
temos .
Vemos que o valor passa de
(em
) para
(em
), portanto não há nenhum
tal que
. Como a função é crescente para
, não surge outro
maior que retorne
. Logo não existe
que satisfaça a condição.
Observação rápida alternativa: a equação expandida é
e não tem raízes inteiras (testando possíveis divisores de
ou pela checagem direta dos pequenos inteiros), o que confirma que não há solução inteira.
Resposta
Não existe nenhum número natural da forma
que tenha exatamente
divisores.