DETERMINA QUAIS SÃO TODOS OS NÚMEROS NATURAIS DA FORMA 2^{x} .3^{x^{2}} QUE POSSUI 10 DIVISORES

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números naturais da forma 2^{x}\cdot 3^{x^{2}} que têm exatamente 10 divisores.
Informações dadas e suposições necessárias (sem pedir nada a você): x é o expoente de primos na expressão, portanto devemos assumir que x é um número inteiro não negativo, isto é, x\in\mathbb{N}_0 (caso contrário a expressão não seria um número natural). Logo estamos procurando todos os x\in\{0,1,2,\dots\} tais que o número 2^{x}\cdot 3^{x^{2}} tem 10 divisores.

Passo 2

Vamos aprender como contar divisores de um número inteiro dado pela fatoração em primos. Regra fundamental:
\text{Se } n=\prod_{i} p_i^{a_i}\text{ com }p_i\text{ primos e }a_i\in\mathbb{N}_0,
então o número de divisores positivos de n é
\tau(n)=\prod_{i}(a_i+1).
Explicação didática: qualquer divisor de n é obtido escolhendo, para cada primo p_i, um expoente e_i entre 0 e a_i. Há a_i+1 escolhas para e_i. Como as escolhas são independentes entre primos, multiplicamos as quantidades de escolhas. Exemplo simples: para 2^3\cdot5^1 temos (3+1)(1+1)=4\cdot2=8 divisores.

Passo 3

Aplique a regra ao nosso número. Para
n=2^{x}\cdot 3^{x^{2}}
os expoentes são a_1=x (para o primo 2) e a_2=x^{2} (para o primo 3). Portanto o número de divisores é
\tau(n)=(x+1)(x^{2}+1).
Queremos \tau(n)=10. Logo precisamos resolver, em inteiros não negativos x,
(x+1)(x^{2}+1)=10.

Passo 4

Agora resolvemos a equação para x\in\mathbb{N}_0. Uma maneira direta e segura em prova é testar os primeiros valores de x, porque para x\ge0 a função (x+1)(x^{2}+1) é crescente (produtos de fatores crescentes):
  • Para x=0 temos (0+1)(0^{2}+1)=1\cdot1=1.
  • Para x=1 temos (1+1)(1^{2}+1)=2\cdot2=4.
  • Para x=2 temos (2+1)(2^{2}+1)=3\cdot5=15.
Vemos que o valor passa de 4 (em x=1) para 15 (em x=2), portanto não há nenhum x\in\{0,1,2,\dots\} tal que (x+1)(x^{2}+1)=10. Como a função é crescente para x\ge0, não surge outro x maior que retorne 10. Logo não existe x\in\mathbb{N}_0 que satisfaça a condição.
Observação rápida alternativa: a equação expandida é
x^{3}+x^{2}+x-9=0,
e não tem raízes inteiras (testando possíveis divisores de 9 ou pela checagem direta dos pequenos inteiros), o que confirma que não há solução inteira.

Resposta

Não existe nenhum número natural da forma 2^{x}\cdot 3^{x^{2}} que tenha exatamente 10 divisores.

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