1. Determina o valor de k, de modo que o resto da divisão do polinómio p(x)=x^{3}+k x^{2}-5 x+1 por (x-2) seja 11.

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar o valor de k tal que o resto da divisão do polinômio
p(x)=x^{3}+k x^{2}-5 x+1
por (x-2) seja 11. Vamos usar o teorema do resto, que diz que, ao dividir por (x-a), o resto é p(a).

Passo 2

Pelo teorema do resto, ao dividir por (x-2), o resto é dado por p(2). Logo, devemos ter
p(2)=11.

Passo 3

Substituindo x=2 em p(x), obtemos
p(2)=2^{3}+k\cdot2^{2}-5\cdot2+1.

Passo 4

Simplificando essa expressão, temos
p(2)=8+4k-10+1=4k-1.

Passo 5

Igualando ao valor do resto e resolvendo para k:
4k-1=11
4k=12 k=3.

Resposta

k=3

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