Um tanque de mistura de 20 L contendo Bacillus therigiensis a 30^{\circ} \mathrm{C} é usado para a produção de um inseticida microbiano. \mathrm{K}_{\mathrm{L}} \mathrm{a} é determinado pelo método dinâmico. O fluxo de ar é desligado e em poucos minutos os níveis de oxigênio diminuem, o ar é conectado após isso. Quando o estado estacionário é estabelecido, a tensão do oxigênio dissolvido é 78% da saturação do ar. Os seguintes resultados são obtidos.
Tempo (s) 5 15
Tensão do oxigênio
(% saturação do ar)
50 66
a) Estime KLa.
b) Um erro foi cometido na determinação do nível de oxigênio no estado estacionário, ao invés de 78 \%, foi de 70 \%. Qual a porcentagem de erro em KLa resultado desses aprox… 10% de erro em Cl ?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de 20 L agitado em 30{}^\circ\mathrm{C} onde, usando o método dinâmico, o ar é desligado até o oxigênio dissolvido cair e depois religado. No regime estacionário após religar obtém-se C_{\mathrm{eq}}=78\% da saturação. Medições de oxigênio dissolvido em função do tempo (ambas em % da saturação) são:
tabela de dados
Tempo t (s): 5 \to C(5)=50\%
Tempo t (s): 15 \to C(15)=66\%
a) Estimar K_La.
b) Se, por erro, usarmos C_{\mathrm{eq}}'=70\% em vez de 78\% (aprox. 10\% de erro em C_{\mathrm{eq}}), qual é o erro percentual em K_La?
Conteúdo: transferência de massa gas-líquido e solução de EDO linear.

Passo 2

O modelo cinético de reoxigenação (sem consumo biológico) é
\frac{dC}{dt}=K_La\bigl(C_s - C\bigr),
cuja solução geral é
C(t)=C_{\mathrm{eq}}-\bigl(C_{\mathrm{eq}}-C_0\bigr)\,e^{-K_La\,t},
onde C_{\mathrm{eq}} é o valor assintótico e C_0 a concentração no instante em que o ar é religado. Em termos de frações de saturação f(t)=C(t)/C_s e f_{\mathrm{eq}}=C_{\mathrm{eq}}/C_s fica
f(t)=f_{\mathrm{eq}} - \bigl(f_{\mathrm{eq}}-f_0\bigr)e^{-K_La\,t}.

Passo 3

Para f_{\mathrm{eq}}=0{,}78, f(5)=0{,}50 e f(15)=0{,}66, definimos
D = f_{\mathrm{eq}}-f_0
e escrevemos
\begin{cases} D\,e^{-K_La\cdot5}=f_{\mathrm{eq}}-f(5)=0{,}78-0{,}50=0{,}28,\\\ D\,e^{-K_La\cdot15}=f_{\mathrm{eq}}-f(15)=0{,}78-0{,}66=0{,}12. \end{cases}
Dividindo a segunda equação pela primeira:
\frac{e^{-15K_La}}{e^{-5K_La}} =e^{-10K_La} =\frac{0{,}12}{0{,}28}=0{,}4286 \quad\Longrightarrow\quad K_La =-\frac{1}{10}\ln(0{,}4286).

Passo 4

Calculando
K_La =-\frac{1}{10}\ln(0{,}4286) \approx0{,}0847\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Agora suponha f_{\mathrm{eq}}'=0{,}70 (erro de \approx10\%). Repete-se o mesmo raciocínio:
\begin{cases} D'\,e^{-K'_La\cdot5}=0{,}70-0{,}50=0{,}20,\\\ D'\,e^{-K'_La\cdot15}=0{,}70-0{,}66=0{,}04, \end{cases}
e^{-10K'_La}=\frac{0{,}04}{0{,}20}=0{,}20 \quad\Longrightarrow\quad K'_La =-\frac{1}{10}\ln(0{,}20) \approx0{,}1609\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 6

O erro percentual em K_La é
\frac{K'_La - K_La}{K_La}\times100\% =\frac{0{,}1609-0{,}0847}{0{,}0847}\times100\% \approx90\%.

Resposta

a) K_La\approx0{,}0847\\ \mathrm{s^{-1}}.
b) O erro em K_La resulta em cerca de 90\%.

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