1 Determinação do Módulo de Elasticidade de Cilindros de Batata
Descrição do Experimento:
Cilindros de batata in natura com umidade de
total, diâmetro e altura iguais a
, foram submetidos a um teste de compressão uniaxial em um texturômetro (TAXT2i Texture Analyser - Stable Micro Systems). O equipamento foi programado para uma deformação correspondente a
altura inicial do cilindro (dados disponíveis na Tabela 1).
Table 1: Tabela 1 - Dados experimentais de compressão de batata\captionsetup{labelformat=empty}
Altura (H) [mm]
Variação de Altura
Força (F) [N]
Altura (H) [mm]
Variação de Altura
Força (F) [N]
12,00
0,00
0,00
11,35
0,65
54,6
11,95
0,05
4,20
11,30
0,70
58,3
11,90
0,10
8,40
11,25
0,75
62,6
11,85
0,15
15,0
11,20
0,80
69,1
11,80
0,20
19,6
11,15
0,85
73,6
11,75
0,25
22,6
11,10
0,90
78,1
11,70
0,30
25,4
11,05
0,95
81,1
11,65
0,35
29,7
11,00
1,00
85,3
11,60
0,40
34,0
10,95
1,05
91,8
11,55
0,45
37,5
10,90
1,10
93,2
11,50
0,50
41,7
10,85
1,15
98,8
11,45
0,55
45,5
10,80
1,20
102,1
11,40
0,60
49,7
-
-
-
Condições Pós-Compressão:
Considerou-se que o diâmetro do cilindro recuperou imediatamente seu tamanho inicial após a compressão.
Objetivo:
Determinar o módulo de elasticidade (
) do material.
Table 1: Tabela 1 - Dados experimentais de compressão de batata
\captionsetup{labelformat=empty}
| Altura (H) [mm] | Variação de Altura
|
Força (F) [N] | Altura (H) [mm] | Variação de Altura
|
Força (F) [N] |
| 12,00 | 0,00 | 0,00 | 11,35 | 0,65 | 54,6 |
| 11,95 | 0,05 | 4,20 | 11,30 | 0,70 | 58,3 |
| 11,90 | 0,10 | 8,40 | 11,25 | 0,75 | 62,6 |
| 11,85 | 0,15 | 15,0 | 11,20 | 0,80 | 69,1 |
| 11,80 | 0,20 | 19,6 | 11,15 | 0,85 | 73,6 |
| 11,75 | 0,25 | 22,6 | 11,10 | 0,90 | 78,1 |
| 11,70 | 0,30 | 25,4 | 11,05 | 0,95 | 81,1 |
| 11,65 | 0,35 | 29,7 | 11,00 | 1,00 | 85,3 |
| 11,60 | 0,40 | 34,0 | 10,95 | 1,05 | 91,8 |
| 11,55 | 0,45 | 37,5 | 10,90 | 1,10 | 93,2 |
| 11,50 | 0,50 | 41,7 | 10,85 | 1,15 | 98,8 |
| 11,45 | 0,55 | 45,5 | 10,80 | 1,20 | 102,1 |
| 11,40 | 0,60 | 49,7 | - | - | - |
Passo 1
O enunciado pede para determinar o módulo de elasticidade
do material a partir de um ensaio de compressão uniaxial em cilindros de batata. Dados relevantes fornecidos (peguei estes valores da tabela e do enunciado):
- Altura inicial do cilindro:
. - Diâmetro do cilindro:
. - A área da seção transversal inicial vale
- O equipamento aplicou deformação até
da altura (ou seja, até ), e mediu pares . Os pontos que vou usar (extraídos da Tabela 1) são:
- Condição pós-compressão: o diâmetro recupera imediatamente seu valor inicial — isso autoriza usar a área inicial
para calcular a tensão (ou, equivalentemente, para relacionar diretamente força e deformação).
O objetivo final: calcular
(em unidades práticas, por exemplo
).
Passo 2
Conceitos fundamentais e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Tensão (tensão nominal/engenharia) é força por área:
onde
é a tensão (Pa),
é a força (N) e
é a área da seção (m
).
- Deformação (engenharia) uniaxial é a variação relativa da altura:
onde
é adimensional,
e
devem estar na mesma unidade.
- Para pequenos valores de deformação, na região elástica linear vale a lei de Hooke:
onde
é o módulo de elasticidade (Pa) — a constante que queremos.
- Relacionando tudo:
Isto mostra que, se representarmosversus , a relação linear na região elástica tem declive (slope)
Portanto podemos obter
como
Essa fórmula é prática porque podemos ajustar uma reta a
(regressão linear na região inicial) para encontrar
e daí obter
.
Observação didática: escolhi usar a relação
vs
em vez de diretamente
vs
porque os dados já vêm como
e
; a conversão é direta e evita arredondamentos extras. Também é comum usar apenas os primeiros pontos (pequenas deformações) para estimar a região elástica linear — por isso selecionei os pontos até
(isto corresponde a
, ou
, uma pequena deformação onde o material costuma comportar-se aproximadamente linear).
Passo 3
Calcular a área da seção transversal inicial
. Usando
,
Para facilitar os cálculos numéricos mais adiante, chamo este valor de
Passo 4
Estimativa do declive
por ajuste linear (mínimos quadrados) de
em função de
usando os
pontos listados. Fórmula do coeficiente angular (declive) da regressão linear por mínimos quadrados (reta
):
onde
é o número de pontos.
Calculemos as somas (todas as
em
,
em N):
Agora aplicando a fórmula:
Portanto
Interpretação: na região inicial, a força aumenta em cerca de
para cada milímetro de compressão.
Passo 5
Converter o declive
em módulo de elasticidade
usando
. Lembre que
e
. Procedimento e cuidado com unidades:
-
. -
- Então
Convertendo para megapascal:
Passo 6
Interpretação e observações finais (didático, para a prova):
- O procedimento usado: ajustar uma reta
na região inicial (pequenas deformações), obter o declive e calcular por . Esse caminho é prático em provas porque evita calcular individualmente e para cada ponto; basta saber a área e a altura inicial. - Usei somente os pontos iniciais (
) porque a lei de Hooke vale para a região elástica linear; para deformações maiores o material tende a apresentar não linearidade, então incluir todo o intervalo até poderia subestimar/alterar a inclinação elástica real. - Unidade final:
tem dimensão de pressão (Pa). É comum reportar em para materiais biológicos como batata. - Valor obtido (aproximadamente
) está na ordem de grandeza esperada para produtos alimentares firmes; portanto o resultado é plausível. - Na prova: se pedirem só o procedimento, explique a dedução
e aplique uma regressão simples (ou calcule o declive entre dois pontos bem na região inicial se for pedido um cálculo rápido).