1 Determinação do Módulo de Elasticidade de Cilindros de Batata

Descrição do Experimento:

Cilindros de batata in natura com umidade de \mathbf{0 , 8 2} \mathbf{~ k g a ́ g u a} \cdot \mathbf{\mathbf { k g } ^ { \mathbf { - 1 } }} total, diâmetro e altura iguais a \mathbf{1 2} \mathbf{m m}, foram submetidos a um teste de compressão uniaxial em um texturômetro (TAXT2i Texture Analyser - Stable Micro Systems). O equipamento foi programado para uma deformação correspondente a \mathbf{1 0} \boldsymbol{\%} \mathbf{~ d a} altura inicial do cilindro (dados disponíveis na Tabela 1).
Table 1: Tabela 1 - Dados experimentais de compressão de batata
\captionsetup{labelformat=empty}
Altura (H) [mm] Variação de Altura \boldsymbol{(} \boldsymbol{\Delta} \mathbf{H} \boldsymbol{)} \boldsymbol{[} \mathbf{m m} \boldsymbol{]} Força (F) [N] Altura (H) [mm] Variação de Altura \boldsymbol{(} \boldsymbol{\Delta} \mathbf{H} \boldsymbol{)} \boldsymbol{[} \mathbf{m m} \boldsymbol{]} Força (F) [N]
12,00 0,00 0,00 11,35 0,65 54,6
11,95 0,05 4,20 11,30 0,70 58,3
11,90 0,10 8,40 11,25 0,75 62,6
11,85 0,15 15,0 11,20 0,80 69,1
11,80 0,20 19,6 11,15 0,85 73,6
11,75 0,25 22,6 11,10 0,90 78,1
11,70 0,30 25,4 11,05 0,95 81,1
11,65 0,35 29,7 11,00 1,00 85,3
11,60 0,40 34,0 10,95 1,05 91,8
11,55 0,45 37,5 10,90 1,10 93,2
11,50 0,50 41,7 10,85 1,15 98,8
11,45 0,55 45,5 10,80 1,20 102,1
11,40 0,60 49,7 - - -

Condições Pós-Compressão:

Considerou-se que o diâmetro do cilindro recuperou imediatamente seu tamanho inicial após a compressão.

Objetivo:

Determinar o módulo de elasticidade ( E ) do material.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o módulo de elasticidade E do material a partir de um ensaio de compressão uniaxial em cilindros de batata. Dados relevantes fornecidos (peguei estes valores da tabela e do enunciado):
  • Altura inicial do cilindro: H_0 = 12{,}00\\ \text{mm}.
  • Diâmetro do cilindro: d = 12{,}00\\ \text{mm}.
  • A área da seção transversal inicial vale
A = \frac{\pi d^{2}}{4}.
  • O equipamento aplicou deformação até 10\% da altura (ou seja, até \Delta H_{\max}=1{,}20\\ \text{mm}), e mediu pares (\Delta H,\;F). Os pontos que vou usar (extraídos da Tabela 1) são:
\begin{array}{cc} \Delta H\\ (\text{mm}) & F\\ (\text{N})\\\\ 0{,}00 & 0{,}00\\\\ 0{,}05 & 4{,}20\\\\ 0{,}10 & 8{,}40\\\\ 0{,}15 & 15{,}0\\\\ 0{,}20 & 19{,}6\\\\ 0{,}25 & 22{,}6\\\\ 0{,}30 & 25{,}4 \end{array}
  • Condição pós-compressão: o diâmetro recupera imediatamente seu valor inicial — isso autoriza usar a área inicial A para calcular a tensão (ou, equivalentemente, para relacionar diretamente força e deformação).
O objetivo final: calcular E (em unidades práticas, por exemplo \text{MPa}).

Passo 2

Conceitos fundamentais e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Tensão (tensão nominal/engenharia) é força por área:
\sigma=\frac{F}{A},
onde \sigma é a tensão (Pa), F é a força (N) e A é a área da seção (m ^2).
  • Deformação (engenharia) uniaxial é a variação relativa da altura:
\varepsilon=\frac{\Delta H}{H_0},
onde \varepsilon é adimensional, \Delta H e H_0 devem estar na mesma unidade.
  • Para pequenos valores de deformação, na região elástica linear vale a lei de Hooke:
\sigma = E\,\varepsilon,
onde E é o módulo de elasticidade (Pa) — a constante que queremos.
  • Relacionando tudo: \displaystyle F = A\sigma = A E \varepsilon = A E \frac{\Delta H}{H_0}.
    Isto mostra que, se representarmos F versus \Delta H, a relação linear na região elástica tem declive (slope)
s \equiv \frac{dF}{d(\Delta H)} = \frac{A E}{H_0}.
Portanto podemos obter E como
E = \frac{s\,H_0}{A}.
Essa fórmula é prática porque podemos ajustar uma reta a F(\Delta H) (regressão linear na região inicial) para encontrar s e daí obter E.
Observação didática: escolhi usar a relação F vs \Delta H em vez de diretamente \sigma vs \varepsilon porque os dados já vêm como F e \Delta H; a conversão é direta e evita arredondamentos extras. Também é comum usar apenas os primeiros pontos (pequenas deformações) para estimar a região elástica linear — por isso selecionei os pontos até \Delta H=0{,}30\\ \text{mm} (isto corresponde a \varepsilon=0{,}30/12=0{,}025, ou 2{,}5\%, uma pequena deformação onde o material costuma comportar-se aproximadamente linear).

Passo 3

Calcular a área da seção transversal inicial A. Usando d=12{,}00\\ \text{mm}=0{,}012\\ \text{m},
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}012)^{2}}{4}=\pi\cdot 3{,}6\times 10^{-5}\\ \text{m}^{2}=1{,}130973355\times 10^{-4}\\ \text{m}^{2}.
Para facilitar os cálculos numéricos mais adiante, chamo este valor de
A=1{,}130973355\times 10^{-4}\\ \text{m}^{2}.

Passo 4

Estimativa do declive s por ajuste linear (mínimos quadrados) de F em função de \Delta H usando os 7 pontos listados. Fórmula do coeficiente angular (declive) da regressão linear por mínimos quadrados (reta F = s\,\Delta H + b):
s=\frac{N\sum(\Delta H \, F)-\big(\sum\Delta H\big)\big(\sum F\big)}{N\sum(\Delta H)^{2}-\big(\sum\Delta H\big)^{2}},
onde N é o número de pontos.
Calculemos as somas (todas as \Delta H em \text{mm}, F em N):
\begin{aligned} N&=7,\\\ \sum \Delta H &=0{,}00+0{,}05+0{,}10+0{,}15+0{,}20+0{,}25+0{,}30=1{,}05\\ \text{mm},\\\ \sum F &=0{,}00+4{,}20+8{,}40+15{,}0+19{,}6+22{,}6+25{,}4=95{,}2\\ \text{N},\\\ \sum (\Delta H)^{2} &=0{,}00^{2}+0{,}05^{2}+0{,}10^{2}+0{,}15^{2}+0{,}20^{2}+0{,}25^{2}+0{,}30^{2}=0{,}2275\\ \text{mm}^{2},\\\ \sum (\Delta H\cdot F) &=0{,}00\cdot0{,}00+0{,}05\cdot4{,}20+0{,}10\cdot8{,}40+0{,}15\cdot15{,}0\\\ &\quad+0{,}20\cdot19{,}6+0{,}25\cdot22{,}6+0{,}30\cdot25{,}4=20{,}49\\ \text{N}\cdot\text{mm}. \end{aligned}
Agora aplicando a fórmula:
\begin{aligned} \text{num}&=N\sum(\Delta H\,F)-(\sum\Delta H)(\sum F)=7\cdot 20{,}49 - 1{,}05\cdot 95{,}2 =143{,}43-99{,}96=43{,}47,\\\ \text{den}&=N\sum(\Delta H)^{2}-(\sum\Delta H)^{2}=7\cdot 0{,}2275 - (1{,}05)^{2}=1{,}5925-1{,}1025=0{,}49. \end{aligned}
Portanto
s=\frac{43{,}47}{0{,}49}=88{,}73\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}}.
Interpretação: na região inicial, a força aumenta em cerca de 88{,}73\\ \text{N} para cada milímetro de compressão.

Passo 5

Converter o declive s em módulo de elasticidade E usando E = \dfrac{s\,H_0}{A}. Lembre que H_0=12{,}00\\ \text{mm} e A=1{,}130973355\times 10^{-4}\\ \text{m}^{2}. Procedimento e cuidado com unidades:
  • s=88{,}73\\ \dfrac{\text{N}}{\text{mm}}.
  • s\cdot H_0 = 88{,}73\\ \dfrac{\text{N}}{\text{mm}}\times 12{,}00\\ \text{mm}=1064{,}76\\ \text{N}.
  • Então
E=\frac{1064{,}76\\ \text{N}}{1{,}130973355\times 10^{-4}\\ \text{m}^{2}} = 9{,}417{,}052\\ \text{Pa}\approx 9{,}42\times 10^{6}\\ \text{Pa}.
Convertendo para megapascal:
E\approx 9{,}42\\ \text{MPa}.

Passo 6

Interpretação e observações finais (didático, para a prova):
  • O procedimento usado: ajustar uma reta F(\Delta H) na região inicial (pequenas deformações), obter o declive s e calcular E por E=sH_0/A. Esse caminho é prático em provas porque evita calcular individualmente \sigma e \varepsilon para cada ponto; basta saber a área e a altura inicial.
  • Usei somente os pontos iniciais ( \Delta H\le 0{,}30\\ \text{mm}) porque a lei de Hooke vale para a região elástica linear; para deformações maiores o material tende a apresentar não linearidade, então incluir todo o intervalo até 1{,}20\\ \text{mm} poderia subestimar/alterar a inclinação elástica real.
  • Unidade final: E tem dimensão de pressão (Pa). É comum reportar E em \text{MPa} para materiais biológicos como batata.
  • Valor obtido (aproximadamente 9{,}42\\ \text{MPa}) está na ordem de grandeza esperada para produtos alimentares firmes; portanto o resultado é plausível.
  • Na prova: se pedirem só o procedimento, explique a dedução F=A E (\Delta H/H_0) e aplique uma regressão simples (ou calcule o declive entre dois pontos bem na região inicial se for pedido um cálculo rápido).

Resposta

E=9{,}42\\ \text{MPa}

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