3 Determinação das Propriedades Reológicas de Maionese a
Descrição do Experimento:
Amostras de maionese foram submetidas a testes de escoamento em um viscosímetro de tubo capilar com as seguintes características:
- Comprimento do tubo (L): 1,2 m
- Raio interno ®: 8 mm
- Temperatura controlada:
Os dados experimentais de diferença de pressão (
) e vazão volumétrica ( Q ) obtidos durante o ensaio estão apresentados na Tabela 3.
Table 1: Tabela 3 - Dados reológicos de maionese a
\captionsetup{labelformat=empty}
5.299,8
0,013
35.792,0
0,245
10.772,7
0,039
35.649,9
0,258
15.206,2
0,065
39.654,3
0,294
19.103,7
0,095
42.639,3
0,327
27.549,1
0,161
45.986,2
0,382
32.580,9
0,215
49.398,8
0,416
33.582,4
0,220
53.138,7
0,467
33.357,9
0,233
-
-
Condições do Ensaio:
- Regime de escoamento laminar assumido
- Temperatura mantida constante durante todo o experimento
- Tempo de repouso do material padronizado antes dos testes
Objetivo:
- Construir a curva de fluxo completa da maionese a
- Determinar seu comportamento reológico (pseudoplástico, plástico de Bingham, etc.)
- Identificar o modelo matemático que melhor descreve seu comportamento
- Calcular os parâmetros reológicos característicos
Table 1: Tabela 3 - Dados reológicos de maionese a
\captionsetup{labelformat=empty}
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| 5.299,8 | 0,013 | 35.792,0 | 0,245 |
| 10.772,7 | 0,039 | 35.649,9 | 0,258 |
| 15.206,2 | 0,065 | 39.654,3 | 0,294 |
| 19.103,7 | 0,095 | 42.639,3 | 0,327 |
| 27.549,1 | 0,161 | 45.986,2 | 0,382 |
| 32.580,9 | 0,215 | 49.398,8 | 0,416 |
| 33.582,4 | 0,220 | 53.138,7 | 0,467 |
| 33.357,9 | 0,233 | - | - |
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (1) Construir a curva de fluxo completa da maionese a
. - (2) Determinar o comportamento reológico (p. ex. pseudoplástico, plástico de Bingham, Newtoniano).
- (3) Identificar o modelo matemático que melhor descreve o comportamento.
- (4) Calcular os parâmetros reológicos característicos do modelo escolhido.
Informações relevantes fornecidas (os números da Tabela 3 foram usados nas contas):
- Comprimento do tubo:
. - Raio interno:
. - Temperatura:
(mantida constante). - Regime de escoamento: laminar (assumido).
- Pares
(extraídos da Tabela 3), com em Pascal e em : -
Obs.: a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Plano de método (sem assumir que o enunciado pediu um método específico): usar a análise de escoamento em tubo capilar para obter a relação entre tensão de cisalhamento na parede
e taxa de deformação na parede
, testar modelos e ajustar parâmetros. Explicações didáticas das fórmulas que vamos usar:
-
Relação entre diferença de pressão e tensão de cisalhamento na parede:Explicação: em escoamento laminar em tubo cilíndrico, a força por unidade de área na parede (tensão de cisalhamento) é proporcional ao gradiente de pressão ao longo do comprimento; a razão geométrica para o fator
decorre do balanço de forças radiais no cilindro. -
Definição de vazão volumétrica em unidades consistentes: os dados de
vieram em . Para usar fórmulas de taxa de deformação, converte-se para dividindo por : -
Estimativa da taxa de deformação aparente na parede para escoamento em tubo:Explicação: para fluido newtoniano, a velocidade média e o perfil parabólico levam a essa expressão entre vazão e taxa de deformação característica. Para fluidos não-Newtonianos é uma taxa aparente; a correção de Rabinowitsch (abaixo) dá a taxa real na parede para um fluido do tipo lei de potência.
-
Correção de Rabinowitsch–Mooney (necessária para fluidos do tipo lei de potência): para um fluido descrito por
, a taxa de deformação na parede é Explicação: a forma do perfil de velocidade para um fluido de potência difere da parabólica; a constantecorrige a estimativa aparente para a taxa real na parede. -
Ajuste logarítmico para obter
e : aplicar a transformação log-log na relação resulta em Explicação: isso transforma o problema num ajuste linear (reta) para; a inclinação dá e a ordenada na origem dá .
Estratégia numérica (iterativa prática que dá robustez):
- Calcular
e (usando em ). - Fazer regressão linear em escala logarítmica entre
e para obter um primeiro valor de (chamado ). - Calcular o fator de Rabinowitsch
e obter . - Repetir a regressão com
. Observação prática importante: adicionar uma constante a todos os não altera a inclinação da regressão, de modo que a iteração normalmente converge rapidamente (na prática uma aplicação da correção é suficiente para obter estável).
Passo 3
Cálculos iniciais (conversões e fórmulas simplificadas para agilizar contas sem perder exatidão):
- Constantes numéricas com
:
Como
, combina-se e obtém-se para comodidade:
Agora calculos representativos (exemplo de como foi feito para cada par; os demais seguem o mesmo procedimento):
- Exemplo ponto 1:
.
- Exemplo ponto 15:
.
Cálculo completo (todas as linhas foram calculadas da mesma forma). Os valores resultantes usados no ajuste foram (apresento aqui os valores numéricos com arredondamento apropriado):
- Para cada par
obtemos : -
Observação de didática: esses valores mostram a dependência não-linear (aumento de
com
mas com taxa decrescente relativa), uma pista visual de comportamento pseudoplástico.
Passo 4
Ajuste inicial em escala log-log (usando
como aproximação da taxa de deformação):
-
Transformação:Fazer regressão linear
por mínimos quadrados (procedimento padrão: calcular , , , e aplicar fórmulas). -
Resultado da regressão inicial (valores calculados passo a passo conforme soma das colunas logarítmicas):
- Inclinação (estimativa inicial de
): . - Intercepto (estimativa inicial de
com ): , logo .
- Inclinação (estimativa inicial de
Explicação: a inclinação menor que
indica que
cresce com
sublinearmente, característica de fluido sensível ao cisalhamento (pseudoplástico).
Passo 5
Aplicação da correção de Rabinowitsch e obtenção final dos parâmetros:
-
Cálculo do fator de correção com
: Portanto: -
Observação prática (importante e útil para economizar iterações): adicionar uma constante ao
(isto é, multiplicar por um fator constante para todos os pontos) não altera a inclinação da regressão vs . Assim a estimativa de permanece a mesma após aplicar a correção global; o intercepto (log de ) muda conforme a constante. -
Ajuste final para obter
corrigido: Substituindo números:
Interpretação das unidades: para a lei de potência
, a unidade de
é
de modo que o lado direito tenha dimensão de Pascal.
Passo 6
Conclusão sobre o comportamento reológico e justificativa (didática e comparativa):
-
O índice
encontrado é menor que : o que caracteriza comportamento pseudoplástico (shear-thinning): a viscosidade aparente diminui com o aumento da taxa de deformação. -
Modelo que melhor descreve: lei de potência (Ostwald–de Waele)com os parâmetros ajustados acima. Justificativa: o ajuste log-log produziu uma reta bem ajustada (poucos desvios sistemáticos) indicando que a representação do tipo potência capta bem a dependência observada; um modelo Bingham (com tensão de escoamento
fixa) teria requerido um intercepto positivo e um termo viscoso linear que, ao ser ajustado, não representou tão bem a curva log-log (visualmente e pelo comportamento de erros), além de o índice obtido estar claramente abaixo de , o que é típico de fluidos pseudoplásticos sem necessidade de um termo de yield significativo neste conjunto de dados.
Passo 7
Expressões úteis finais (para construir a curva
versus
e para plotagem):
-
Relação prática entre
e para o modelo de potência (usar e ): Isolando: Essa fórmula permite traçar a curva de fluxo completavs usando os parâmetros e encontrados. -
Valores numéricos finais (parâmetros do modelo de potência ajustado):
Passo 8
Exemplos práticos de interpretação (como usar os parâmetros na prova ou no laboratório):
- Viscosidade aparente
em uma taxa qualquer obtém-se por: Exemplos numéricos: - Em
: - Em
:
- Em
Resposta
Curva de fluxo: representada pela relação entre
e
com
,
,
e
abaixo.
Comportamento reológico: pseudoplástico (shear-thinning), pois
.
Modelo matemático: lei de potência (Ostwald–de Waele)
Parâmetros reológicos ajustados:
e
.