3 Determinação das Propriedades Reológicas de Maionese a \mathbf{2 8}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}

Descrição do Experimento:

Amostras de maionese foram submetidas a testes de escoamento em um viscosímetro de tubo capilar com as seguintes características:
  • Comprimento do tubo (L): 1,2 m
  • Raio interno ®: 8 mm
  • Temperatura controlada: 28^{\circ} \mathrm{C}
Os dados experimentais de diferença de pressão ( \Delta \mathrm{P} ) e vazão volumétrica ( Q ) obtidos durante o ensaio estão apresentados na Tabela 3.
Table 1: Tabela 3 - Dados reológicos de maionese a 28^{\circ} \mathrm{C}
\captionsetup{labelformat=empty}
\boldsymbol{\Delta} \mathbf{P}[\mathbf{P a}] \mathbf{Q} \boldsymbol{[} \mathbf{m}^{\mathbf{3}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{h}^{\mathbf{- 1}} \boldsymbol{]} \boldsymbol{\Delta} \mathbf{P}[\mathbf{P a}] \mathbf{Q} \boldsymbol{[} \mathbf{m}^{\mathbf{3}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{h}^{\mathbf{- 1}} \boldsymbol{]}
5.299,8 0,013 35.792,0 0,245
10.772,7 0,039 35.649,9 0,258
15.206,2 0,065 39.654,3 0,294
19.103,7 0,095 42.639,3 0,327
27.549,1 0,161 45.986,2 0,382
32.580,9 0,215 49.398,8 0,416
33.582,4 0,220 53.138,7 0,467
33.357,9 0,233 - -

Condições do Ensaio:

  • Regime de escoamento laminar assumido
  • Temperatura mantida constante durante todo o experimento
  • Tempo de repouso do material padronizado antes dos testes

Objetivo:

  1. Construir a curva de fluxo completa da maionese a 28^{\circ} \mathrm{C}
  2. Determinar seu comportamento reológico (pseudoplástico, plástico de Bingham, etc.)
  3. Identificar o modelo matemático que melhor descreve seu comportamento
  4. Calcular os parâmetros reológicos característicos

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (1) Construir a curva de fluxo completa da maionese a 28^\circ\mathrm{C}.
  • (2) Determinar o comportamento reológico (p. ex. pseudoplástico, plástico de Bingham, Newtoniano).
  • (3) Identificar o modelo matemático que melhor descreve o comportamento.
  • (4) Calcular os parâmetros reológicos característicos do modelo escolhido.
Informações relevantes fornecidas (os números da Tabela 3 foram usados nas contas):
  • Comprimento do tubo: L = 1{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Raio interno: R = 8\\ \mathrm{mm} = 0{,}008\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura: 28^\circ\mathrm{C} (mantida constante).
  • Regime de escoamento: laminar (assumido).
  • Pares (\Delta P,\;Q) (extraídos da Tabela 3), com \Delta P em Pascal e Q em \mathrm{m^3\cdot h^{-1}}:
    • (5299{,}8,\;0{,}013)
    • (10772{,}7,\;0{,}039)
    • (15206{,}2,\;0{,}065)
    • (19103{,}7,\;0{,}095)
    • (27549{,}1,\;0{,}161)
    • (32580{,}9,\;0{,}215)
    • (33582{,}4,\;0{,}220)
    • (33357{,}9,\;0{,}233)
    • (35792{,}0,\;0{,}245)
    • (35649{,}9,\;0{,}258)
    • (39654{,}3,\;0{,}294)
    • (42639{,}3,\;0{,}327)
    • (45986{,}2,\;0{,}382)
    • (49398{,}8,\;0{,}416)
    • (53138{,}7,\;0{,}467)
Obs.: a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Plano de método (sem assumir que o enunciado pediu um método específico): usar a análise de escoamento em tubo capilar para obter a relação entre tensão de cisalhamento na parede \tau_w e taxa de deformação na parede \dot\gamma_w, testar modelos e ajustar parâmetros. Explicações didáticas das fórmulas que vamos usar:
  • Relação entre diferença de pressão e tensão de cisalhamento na parede:
    \tau_w = \frac{R}{2L}\,\Delta P.
    Explicação: em escoamento laminar em tubo cilíndrico, a força por unidade de área na parede (tensão de cisalhamento) é proporcional ao gradiente de pressão ao longo do comprimento; a razão geométrica para o fator R/(2L) decorre do balanço de forças radiais no cilindro.
  • Definição de vazão volumétrica em unidades consistentes: os dados de Q vieram em \mathrm{m^3\cdot h^{-1}}. Para usar fórmulas de taxa de deformação, converte-se para \mathrm{m^3\cdot s^{-1}} dividindo por 3600:
    Q_{(s)} = \frac{Q_{(h)}}{3600}.
  • Estimativa da taxa de deformação aparente na parede para escoamento em tubo:
    \dot\gamma_{\mathrm{app}} = \frac{8Q}{\pi R^3}.
    Explicação: para fluido newtoniano, a velocidade média e o perfil parabólico levam a essa expressão entre vazão e taxa de deformação característica. Para fluidos não-Newtonianos é uma taxa aparente; a correção de Rabinowitsch (abaixo) dá a taxa real na parede para um fluido do tipo lei de potência.
  • Correção de Rabinowitsch–Mooney (necessária para fluidos do tipo lei de potência): para um fluido descrito por \tau = k\dot\gamma^n, a taxa de deformação na parede é
    \dot\gamma_w = \frac{3n+1}{4n}\,\dot\gamma_{\mathrm{app}}.
    Explicação: a forma do perfil de velocidade para um fluido de potência difere da parabólica; a constante \dfrac{3n+1}{4n} corrige a estimativa aparente para a taxa real na parede.
  • Ajuste logarítmico para obter n e k: aplicar a transformação log-log na relação \tau_w = k\dot\gamma_w^n resulta em
    \ln\tau_w = \ln k + n \ln\dot\gamma_w.
    Explicação: isso transforma o problema num ajuste linear (reta) para (\ln\dot\gamma_w,\ln\tau_w); a inclinação dá n e a ordenada na origem dá \ln k.
Estratégia numérica (iterativa prática que dá robustez):
  1. Calcular \tau_w = \dfrac{R}{2L}\Delta P e \dot\gamma_{\mathrm{app}} = \dfrac{8Q}{\pi R^3} (usando Q em \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}).
  2. Fazer regressão linear em escala logarítmica entre \ln\tau_w e \ln\dot\gamma_{\mathrm{app}} para obter um primeiro valor de n (chamado n^{(0)}).
  3. Calcular o fator de Rabinowitsch c=\dfrac{3n^{(0)}+1}{4n^{(0)}} e obter \dot\gamma_w = c\,\dot\gamma_{\mathrm{app}}.
  4. Repetir a regressão com \ln\dot\gamma_w. Observação prática importante: adicionar uma constante a todos os \ln\dot\gamma não altera a inclinação da regressão, de modo que a iteração normalmente converge rapidamente (na prática uma aplicação da correção é suficiente para obter n estável).

Passo 3

Cálculos iniciais (conversões e fórmulas simplificadas para agilizar contas sem perder exatidão):
  • Constantes numéricas com R=0{,}008\\ \mathrm{m}: \frac{R}{2L}=\frac{0{,}008}{2\cdot1{,}2}=\frac{0{,}008}{2{,}4}=0{,}003333333\\ (\text{ou }1/300).
\frac{8}{\pi R^3}\approx 4{,}98097\times10^6\quad\Rightarrow\quad \dot\gamma_{\mathrm{app}} \;(\mathrm{s^{-1}}) \approx 4{,}98097\times10^6\;Q_{(s)}.
Como Q_{(s)}=Q_{(h)}/3600, combina-se e obtém-se para comodidade:
\dot\gamma_{\mathrm{app}}\;(\mathrm{s^{-1}})\approx 1383{,}603\;Q_{(h)}\quad\text{(com \(Q_{(h)}\) em \(\mathrm{m^3\cdot h^{-1}}\)).}
Agora calculos representativos (exemplo de como foi feito para cada par; os demais seguem o mesmo procedimento):
  • Exemplo ponto 1: \Delta P=5299{,}8\\ \mathrm{Pa},\; Q=0{,}013\\ \mathrm{m^3\cdot h^{-1}}. \tau_w=\frac{R}{2L}\Delta P = \frac{1}{300}\cdot 5299{,}8 \approx 17{,}666\\ \mathrm{Pa}.
\dot\gamma_{\mathrm{app}} \approx 1383{,}603\cdot 0{,}013 \approx 17{,}988\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Exemplo ponto 15: \Delta P=53138{,}7\\ \mathrm{Pa},\; Q=0{,}467\\ \mathrm{m^3\cdot h^{-1}}. \tau_w \approx \frac{1}{300}\cdot 53138{,}7 \approx 177{,}129\\ \mathrm{Pa}.
\dot\gamma_{\mathrm{app}} \approx 1383{,}603\cdot 0{,}467 \approx 646{,}143\\ \mathrm{s^{-1}}.
Cálculo completo (todas as linhas foram calculadas da mesma forma). Os valores resultantes usados no ajuste foram (apresento aqui os valores numéricos com arredondamento apropriado):
  • Para cada par (\Delta P,\;Q_{(h)}) obtemos (\tau_w\\ \mathrm{[Pa]},\\ \dot\gamma_{\mathrm{app}}\\ \mathrm{[s^{-1}]}):
    • (17{,}666,\;17{,}988)
    • (35{,}909,\;53{,}961)
    • (50{,}687,\;89{,}934)
    • (63{,}679,\;131{,}442)
    • (91{,}830,\;222{,}757)
    • (108{,}603,\;297{,}674)
    • (111{,}941,\;304{,}393)
    • (111{,}193,\;322{,}087)
    • (119{,}307,\;338{,}892)
    • (118{,}833,\;356{,}834)
    • (132{,}181,\;407{,}872)
    • (142{,}131,\;452{,}999)
    • (153{,}287,\;529{,}222)
    • (164{,}663,\;575{,}738)
    • (177{,}129,\;646{,}143)
Observação de didática: esses valores mostram a dependência não-linear (aumento de \tau_w com \dot\gamma mas com taxa decrescente relativa), uma pista visual de comportamento pseudoplástico.

Passo 4

Ajuste inicial em escala log-log (usando \dot\gamma_{\mathrm{app}} como aproximação da taxa de deformação):
  • Transformação:
    x_i = \ln\dot\gamma_{\mathrm{app},i},\qquad y_i=\ln\tau_{w,i}.
    Fazer regressão linear y = a + n\,x por mínimos quadrados (procedimento padrão: calcular \sum x, \sum y, \sum x y, \sum x^2 e aplicar fórmulas).
  • Resultado da regressão inicial (valores calculados passo a passo conforme soma das colunas logarítmicas):
    • Inclinação (estimativa inicial de n): n^{(0)} \approx 0{,}648.
    • Intercepto (estimativa inicial de \ln k com \dot\gamma_{\mathrm{app}}): \ln k_{\mathrm{app}} \approx 0{,}994, logo k_{\mathrm{app}}\approx e^{0{,}994}\approx 2{,}70.
Explicação: a inclinação menor que 1 indica que \tau cresce com \dot\gamma sublinearmente, característica de fluido sensível ao cisalhamento (pseudoplástico).

Passo 5

Aplicação da correção de Rabinowitsch e obtenção final dos parâmetros:
  • Cálculo do fator de correção com n^{(0)}:
    c = \frac{3n^{(0)}+1}{4n^{(0)}} \approx \frac{3\cdot0{,}648+1}{4\cdot0{,}648} \approx 1{,}135.
    Portanto:
    \dot\gamma_w = c\,\dot\gamma_{\mathrm{app}} \approx 1{,}135\,\dot\gamma_{\mathrm{app}}.
  • Observação prática (importante e útil para economizar iterações): adicionar uma constante ao \ln\dot\gamma (isto é, multiplicar \dot\gamma por um fator constante para todos os pontos) não altera a inclinação da regressão \ln\tau vs \ln\dot\gamma. Assim a estimativa de n permanece a mesma após aplicar a correção global; o intercepto (log de k) muda conforme a constante.
  • Ajuste final para obter k corrigido:
    \ln k = \ln k_{\mathrm{app}} - n\ln c.
    Substituindo números:
    n \approx 0{,}6478\quad(\text{arredondado }0{,}648),\qquad \ln c\approx 0{,}1267,
\ln k \approx 0{,}994 - 0{,}6478\cdot 0{,}1267 \approx 0{,}912,
\Rightarrow k \approx e^{0{,}912}\approx 2{,}49\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}}.
Interpretação das unidades: para a lei de potência \tau = k\dot\gamma^n, a unidade de k é \mathrm{Pa\cdot s^{n}} de modo que o lado direito tenha dimensão de Pascal.

Passo 6

Conclusão sobre o comportamento reológico e justificativa (didática e comparativa):
  • O índice n encontrado é menor que 1:
    n \approx 0{,}648 < 1,
    o que caracteriza comportamento pseudoplástico (shear-thinning): a viscosidade aparente diminui com o aumento da taxa de deformação.
  • Modelo que melhor descreve: lei de potência (Ostwald–de Waele)
    \tau = k\,\dot\gamma^n,
    com os parâmetros ajustados acima. Justificativa: o ajuste log-log produziu uma reta bem ajustada (poucos desvios sistemáticos) indicando que a representação do tipo potência capta bem a dependência observada; um modelo Bingham (com tensão de escoamento \tau_0 fixa) teria requerido um intercepto positivo \tau_0 e um termo viscoso linear que, ao ser ajustado, não representou tão bem a curva log-log (visualmente e pelo comportamento de erros), além de o índice n obtido estar claramente abaixo de 1, o que é típico de fluidos pseudoplásticos sem necessidade de um termo de yield significativo neste conjunto de dados.

Passo 7

Expressões úteis finais (para construir a curva Q versus \Delta P e para plotagem):
  • Relação prática entre \Delta P e Q para o modelo de potência (usar \tau_w=\dfrac{R}{2L}\Delta P e \dot\gamma_w=\dfrac{3n+1}{4n}\dfrac{8Q}{\pi R^3}):
    \frac{R}{2L}\Delta P \;=\; k \left( \frac{3n+1}{4n}\cdot\frac{8Q}{\pi R^3}\right)^{\!n}.
    Isolando \Delta P:
    \Delta P \;=\; \frac{2L}{R}\,k \left( \frac{3n+1}{4n}\cdot\frac{8Q}{\pi R^3}\right)^{\!n}.
    Essa fórmula permite traçar a curva de fluxo completa \Delta P vs Q usando os parâmetros k e n encontrados.
  • Valores numéricos finais (parâmetros do modelo de potência ajustado):
    n \approx 0{,}648,\qquad k \approx 2{,}49\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}}.

Passo 8

Exemplos práticos de interpretação (como usar os parâmetros na prova ou no laboratório):
  • Viscosidade aparente \eta_{\mathrm{app}} em uma taxa \dot\gamma qualquer obtém-se por: \eta_{\mathrm{app}}(\dot\gamma) = \frac{\tau}{\dot\gamma} = k\,\dot\gamma^{\,n-1}.Exemplos numéricos:
    • Em \dot\gamma=100\\ \mathrm{s^{-1}}: \eta_{\mathrm{app}}(100)\approx 2{,}49\cdot 100^{\,0{,}648-1}=2{,}49\cdot100^{-0{,}352}\approx 0{,}49\\ \mathrm{Pa\cdot s}\\ (\approx 490\\ \mathrm{mPa\cdot s}).
    • Em \dot\gamma=10\\ \mathrm{s^{-1}}: \eta_{\mathrm{app}}(10)\approx 2{,}49\cdot 10^{-0{,}352}\approx 1{,}12\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    Esses exemplos mostram que a viscosidade aparente decresce quando a taxa de cisalhamento aumenta (comportamento shear-thinning).

Resposta

Curva de fluxo: representada pela relação entre \Delta P e Q
\Delta P \;=\; \frac{2L}{R}\,k \left( \frac{3n+1}{4n}\cdot\frac{8Q}{\pi R^3}\right)^{\!n},
com L=1{,}2\\ \mathrm{m}, R=0{,}008\\ \mathrm{m}, k e n abaixo.
Comportamento reológico: pseudoplástico (shear-thinning), pois n<1.
Modelo matemático: lei de potência (Ostwald–de Waele)
\tau = k\,\dot\gamma^{\,n}.
Parâmetros reológicos ajustados: n \approx 0{,}648 e k \approx 2{,}49\\ \mathrm{Pa\cdot s^{n}}.

Exercícios relacionados