Na determinação das propriedades reológicas do suco de cajá ( 50,3^{\circ} Brix) na temperatura de 31^{\circ} \mathrm{C}, foi utilizado um viscosimetro de tubo capilar ( \mathrm{L}=1,2 \mathrm{~m}, \mathrm{R}=8 \mathrm{~mm} ), obtendo-se os resultados apresentados na Tabela 2. Obtenha a tensão de cisalhamento, a taxa de deformação e viscosidade aparente. Verifique se trata-se de um fluido newtoniano, pseudoplástico ou dilatante.
Table 1: Tabela 2 - Dados d o escoamento do suco de cajá em um reômetro de tubo capilar.
\captionsetup{labelformat=empty}
\Delta \mathrm{P}(\mathrm{Pa}) Q ( \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ) Tensão de cisalhamento (Pa) Taxa de deformação ( \mathrm{s}^{-1} ) Viscosidade aparente
3932,56 0,010
5526,97 0,015
17708,33 0,100
29281,03 0,203
36905,95 0,315

Passo 1

O enunciado pede que, a partir dos dados experimentais num reômetro de tubo capilar, eu calcule para cada medida a tensão de cisalhamento na parede, a taxa de deformação (no contorno) e a viscosidade aparente; e, por fim, que eu verifique se o fluido é newtoniano, pseudoplástico ou dilatante.
Dados fornecidos (peguei todos os números do enunciado):
  • Comprimento do capilar: L=1,2\\ \text{m}.
  • Raio do capilar: R=8\\ \text{mm} = 0,008\\ \text{m}.
  • Tabela de medidas (cada linha: \Delta P e Q):
    • \Delta P_1=3932{,}56\\ \text{Pa},\quad Q_1=0{,}010\\ \text{m}^3\!/s.
    • \Delta P_2=5526{,}97\\ \text{Pa},\quad Q_2=0{,}015\\ \text{m}^3\!/s.
    • \Delta P_3=17708{,}33\\ \text{Pa},\quad Q_3=0{,}100\\ \text{m}^3\!/s.
    • \Delta P_4=29281{,}03\\ \text{Pa},\quad Q_4=0{,}203\\ \text{m}^3\!/s.
    • \Delta P_5=36905{,}95\\ \text{Pa},\quad Q_5=0{,}315\\ \text{m}^3\!/s.
O que devo devolver:
  • Para cada linha: \tau_w (tensão de cisalhamento na parede), \dot{\gamma} (taxa de deformação — aqui usamos a taxa aparente de parede) e \eta_{\text{app}}=\tau_w/\dot{\gamma}.
  • Indicação do tipo de comportamento reológico (newtoniano, pseudoplástico = shear-thinning, dilatante = shear-thickening).

Passo 2

Fórmulas e conceitos importantes (explicação didática):
  1. Tensão de cisalhamento na parede \tau_w.
    • Para escoamento em tubo circular com queda de pressão \Delta P ao longo de L, o equilíbrio de forças leva à relação clássica
    \tau_w=\frac{\Delta P\,R}{2L}.
    • Intuição rápida: a queda de pressão gera uma força axial que deve ser equilibrada pela força de cisalhamento na superfície cilíndrica; a expressão surge da razão entre essas áreas geométricas (se quiser, posso desenhar o passo a passo do balanço de forças).
  2. Taxa de deformação aparente na parede \dot{\gamma}_{\text{a}}.
    • Para um fluido newtoniano em regime laminar de Poiseuille, o perfil de velocidade é parabólico e a taxa de deformação na parede pode ser escrita em função da vazão Q como
    \dot{\gamma}_{\text{a}}=\frac{4Q}{\pi R^{3}}.
    • Observação: para fluidos não-newtonianos essa expressão é chamada de taxa aparente; a correção de Rabinowitsch dá a taxa verdadeira na parede quando se conhece o índice de fluidez n (veremos isso depois).
  3. Viscosidade aparente \eta_{\text{app}}.
    • Definição prática usada em reometria capilar:
    \eta_{\text{app}}=\frac{\tau_w}{\dot{\gamma}_{\text{a}}}.
    • Se \eta_{\text{app}} for aproximadamente constante quando \dot{\gamma} muda, o fluido é newtoniano. Se \eta_{\text{app}} decresce com \dot{\gamma} é pseudoplástico (shear-thinning). Se \eta_{\text{app}} cresce com \dot{\gamma} é dilatante (shear-thickening).

Passo 3

Cálculo da tensão de cisalhamento na parede para cada \Delta P.
Primeiro observo um fator constante:
\frac{R}{2L}=\frac{0,008}{2\cdot1,2}=\frac{0,008}{2,4}=0,003333\overline{3}=\frac{1}{300}.
Logo, de forma prática,
\tau_w=\frac{\Delta P}{300}.
Agora calculo linha a linha (valores arredondados com 3–4 algarismos significativos):
  • Linha 1:
    \tau_{w1}=\frac{3932{,}56}{300}=13{,}1085\\ \text{Pa}\approx13{,}11\\ \text{Pa}.
  • Linha 2:
    \tau_{w2}=\frac{5526{,}97}{300}=18{,}4232\\ \text{Pa}\approx18{,}42\\ \text{Pa}.
  • Linha 3:
    \tau_{w3}=\frac{17708{,}33}{300}=59{,}0278\\ \text{Pa}\approx59{,}03\\ \text{Pa}.
  • Linha 4:
    \tau_{w4}=\frac{29281{,}03}{300}=97{,}6034\\ \text{Pa}\approx97{,}60\\ \text{Pa}.
  • Linha 5:
    \tau_{w5}=\frac{36905{,}95}{300}=123{,}0198\\ \text{Pa}\approx123{,}02\\ \text{Pa}.

Passo 4

Cálculo da taxa de deformação aparente \dot{\gamma}_{\text{a}} para cada Q.
Primeiro o fator constante:
\frac{4}{\pi R^{3}}=\frac{4}{\pi (0,008)^{3}} \approx 2{,}487093\times10^{6}\\ \text{(s}^{-1}\text{/m}^3).
Portanto
\dot{\gamma}_{\text{a}}=\left(\frac{4}{\pi R^{3}}\right)Q \approx 2{,}487093\times10^{6}\,Q.
Calculando:
  • Linha 1 ( Q_1=0{,}010):
    \dot{\gamma}_{\text{a}1}\approx 2{,}487093\times10^{6}\times0{,}010 \approx 2{,}4871\times10^{4}\\ \text{s}^{-1}.
  • Linha 2 ( Q_2=0{,}015):
    \dot{\gamma}_{\text{a}2}\approx 3{,}7306\times10^{4}\\ \text{s}^{-1}.
  • Linha 3 ( Q_3=0{,}100):
    \dot{\gamma}_{\text{a}3}\approx 2{,}48709\times10^{5}\\ \text{s}^{-1}.
  • Linha 4 ( Q_4=0{,}203):
    \dot{\gamma}_{\text{a}4}\approx 5{,}04880\times10^{5}\\ \text{s}^{-1}.
  • Linha 5 ( Q_5=0{,}315):
    \dot{\gamma}_{\text{a}5}\approx 7{,}83434\times10^{5}\\ \text{s}^{-1}.
(Se preferir, estes números também podem ser apresentados sem notação científica; usei a notação para manter legibilidade.)

Passo 5

Cálculo da viscosidade aparente \eta_{\text{app}}=\tau_w/\dot{\gamma}_{\text{a}} para cada ponto.
Faço a divisão para cada linha:
  • Linha 1:
    \eta_{\text{app},1}=\frac{13{,}1085}{2{,}4871\times10^{4}}\approx 5{,}27\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
  • Linha 2:
    \eta_{\text{app},2}=\frac{18{,}4232}{3{,}7306\times10^{4}}\approx 4{,}94\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
  • Linha 3:
    \eta_{\text{app},3}=\frac{59{,}0278}{2{,}48709\times10^{5}}\approx 2{,}37\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
  • Linha 4:
    \eta_{\text{app},4}=\frac{97{,}6034}{5{,}04880\times10^{5}}\approx 1{,}93\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
  • Linha 5:
    \eta_{\text{app},5}=\frac{123{,}0198}{7{,}83434\times10^{5}}\approx 1{,}57\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
Comentário didático: note que \eta_{\text{app}} decresce claramente quando a taxa de deformação aumenta — isso já é uma forte indicação de comportamento pseudoplástico (shear-thinning).

Passo 6

Classificação reológica mais quantitativa (ajuste de lei potência).
  • Se o fluido obedecer a uma lei potência do tipo \tau=K\,\dot{\gamma}^{\,n}, então em escala logarítmica \ln\tau=\ln K + n\ln\dot{\gamma}.Faço um ajuste linear (mínimos quadrados) em (\ln\dot{\gamma},\ln\tau) usando os pares calculados no Passo 3–4. O ajuste retorna aproximadamente: n\approx0{,}644\quad\text{e}\quad K\approx 2,00\times10^{-2}\\ \text{(unidades: Pa}\cdot\text{s}^{n}\text{)}.
  • Interpretação: n<1 significa comportamento pseudoplástico (shear-thinning). Portanto os dados indicam que o suco de cajá, nas condições dadas, é pseudoplástico.

Passo 7

Observação sobre taxa verdadeira (Rabinowitsch) — como se faz na prova:
  • Quando se tem um fluido de lei potência, a taxa de deformação verdadeira na parede relaciona-se com a taxa aparente por \dot{\gamma}_{w}=\frac{3n+1}{4n}\,\dot{\gamma}_{\text{a}}.
  • Com o n encontrado, o fator vale aproximadamente \frac{3n+1}{4n}\approx\frac{3\cdot0{,}644+1}{4\cdot0{,}644}\approx1{,}138.Ou seja, a taxa verdadeira de parede é cerca de 14\% maior do que a taxa aparente calculada sem correção. Essa correção é útil para obter parâmetros mais fiéis de K e n, mas para a viscosidade aparente (definida como \tau_w/\dot{\gamma}_{\text{a}}) usamos os valores do Passo 5 — que são os normalmente requeridos em exercícios deste tipo.

Resposta

Para \Delta P_1=3932{,}56\\ \text{Pa},\\ Q_1=0{,}010\\ \text{m}^3\!/s:\\ \tau_w=13{,}11\\ \text{Pa},\\ \dot{\gamma}_{\text{a}}=2{,}4871\times10^{4}\\ \text{s}^{-1},\\ \eta_{\text{app}}=5{,}27\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
Para \Delta P_2=5526{,}97\\ \text{Pa},\\ Q_2=0{,}015\\ \text{m}^3\!/s:\\ \tau_w=18{,}42\\ \text{Pa},\\ \dot{\gamma}_{\text{a}}=3{,}7306\times10^{4}\\ \text{s}^{-1},\\ \eta_{\text{app}}=4{,}94\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
Para \Delta P_3=17708{,}33\\ \text{Pa},\\ Q_3=0{,}100\\ \text{m}^3\!/s:\\ \tau_w=59{,}03\\ \text{Pa},\\ \dot{\gamma}_{\text{a}}=2{,}48709\times10^{5}\\ \text{s}^{-1},\\ \eta_{\text{app}}=2{,}37\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
Para \Delta P_4=29281{,}03\\ \text{Pa},\\ Q_4=0{,}203\\ \text{m}^3\!/s:\\ \tau_w=97{,}60\\ \text{Pa},\\ \dot{\gamma}_{\text{a}}=5{,}04880\times10^{5}\\ \text{s}^{-1},\\ \eta_{\text{app}}=1{,}93\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
Para \Delta P_5=36905{,}95\\ \text{Pa},\\ Q_5=0{,}315\\ \text{m}^3\!/s:\\ \tau_w=123{,}02\\ \text{Pa},\\ \dot{\gamma}_{\text{a}}=7{,}83434\times10^{5}\\ \text{s}^{-1},\\ \eta_{\text{app}}=1{,}57\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
Classificação reológica: pseudoplástico (shear-thinning), com ajuste de lei potência aproximado \tau=K\dot{\gamma}^{\,n} tendo n\approx0{,}644 e K\approx2{,}00\times10^{-2}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}^{n}.

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