Uma adutora interliga dois reservatórios cuja diferença de níveis é de 15 m . Esta adutora é composta por dois trechos ligados em série, sendo o primeiro de 1000 m de extensão e diâmetro de 400 mm e o outro de 800 m de comprimento e 300 mm de diâmetro, ambos os trechos com o coeficiente \mathrm{f}=0,020. Desconsiderando as perdas localizadas. Pede-se: (condutos equivalentes)
a) A vazão escoada. \mathbf{R E S P O S T A} : \left[\mathbf{Q}=\mathbf{0 , 1 4 6} \mathbf{~ m}^{\mathbf{3}} / \mathbf{s}\right]
b) Calcular a nova vazão se for instalada, paralelamente ao trecho 2 uma tubulação de 900 m de comprimento, 250 mm de diâmetro e com o mesmo coeficiente de perda de carga (f=0,020). RESPOSTA: \left[\mathbf{Q}=\mathbf{0 , 2 0 0 1} \mathbf{~ m}^{\mathbf{3}} / \mathbf{s}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma adutora entre dois reservatórios com diferença de cotas 15\\ \mathrm{m}. A adutora tem dois trechos em série:
  • Trecho 1: L_1=1000\\ \mathrm{m}, D_1=0{,}400\\ \mathrm{m}, f=0{,}020.
  • Trecho 2: L_2=800\\ \mathrm{m}, D_2=0{,}300\\ \mathrm{m}, f=0{,}020.
Desconsideram-se perdas localizadas. Pergunta (a): calcular a vazão Q escoada no conjunto (condutos equivalentes). Resposta dada de referência: Q=0{,}146\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Na parte (b) instala-se em paralelo ao trecho 2 uma tubulação nova:
  • Trecho 3 (paralelo a 2): L_3=900\\ \mathrm{m}, D_3=0{,}250\\ \mathrm{m}, f=0{,}020.
Pergunta (b): calcular a nova vazão total Q do sistema com o paralelo. Resposta de referência: Q=0{,}2001\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Abaixo vou explicar toda a teoria necessária (fórmulas, significado das variáveis) e resolver passo a passo para chegar aos números finais.

Passo 2

Teoria básica e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo).
  1. Perda de carga por atrito — fórmula de Darcy–Weisbach: para um trecho de comprimento L e diâmetro D,
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde
  • h_f é a perda de carga (em metros de coluna d’água),
  • f é o coeficiente de atrito (adimensional),
  • L é o comprimento do trecho (m),
  • D é o diâmetro interno (m),
  • V é a velocidade média do fluido no trecho (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (use g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  1. Relação entre vazão Q e velocidade V: a vazão volumétrica é Q = A V, com área A = \pi D^{2}/4. Assim,
V = \frac{4Q}{\pi D^{2}}.
Substituindo V em h_f obtemos uma relação direta h_f em função de Q: colocando V^{2} = \dfrac{16Q^{2}}{\pi^{2}D^{4}} em Darcy–Weisbach,
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\,\frac{16Q^{2}}{\pi^{2}D^{4}} = \frac{8fL}{\pi^{2}g}\,\frac{Q^{2}}{D^{5}}.
É útil escrever isso como
h_f = k\,Q^{2},\qquad\text{com}\qquad k=\frac{8fL}{\pi^{2}gD^{5}}.
Assim cada trecho tem sua constante k tal que perda é proporcional a Q^{2}.
  1. Configurações em série e em paralelo:
  • Série: as perdas se somam e a vazão é a mesma nos trechos em série. Logo para dois trechos em série
\Delta H = h_{f1}+h_{f2} = k_1 Q^{2}+k_2 Q^{2} = \left(k_1+k_2\right)Q^{2},
portanto
Q = \sqrt{\frac{\Delta H}{k_1+k_2}}.
  • Paralelo: os dois ramos têm a mesma perda de carga H_{\text{ramo}}, mas vazões diferentes Q_2, Q_3; cada ramo satisfaz H_{\text{ramo}} = k_2 Q_2^{2} e H_{\text{ramo}} = k_3 Q_3^{2}. Assim
Q_2 = \frac{\sqrt{H_{\text{ramo}}}}{\sqrt{k_2}},\qquad Q_3 = \frac{\sqrt{H_{\text{ramo}}}}{\sqrt{k_3}},
e a vazão total no paralelo é
Q_{p} = Q_2+Q_3 = \sqrt{H_{\text{ramo}}}\,\Big(\frac{1}{\sqrt{k_2}}+\frac{1}{\sqrt{k_3}}\Big).
Dessa forma \sqrt{H_{\text{ramo}}} = \dfrac{Q_{p}}{\big(\tfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\tfrac{1}{\sqrt{k_3}}\big)} e
H_{\text{ramo}} = \frac{Q_{p}^{2}}{\Big(\dfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\dfrac{1}{\sqrt{k_3}}\Big)^{2}}.
  1. Para um circuito série-paral (trecho 1 em série seguido pelo paralelo 2‖3), a perda total é
\Delta H = h_{f1}(Q)+H_{\text{ramo}}(Q),
onde Q é a vazão total que passa pelo trecho 1 e se divide no paralelo. Substituindo h_{f1}=k_1Q^{2} e H_{\text{ramo}}=\dfrac{Q^{2}}{\left(\tfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\tfrac{1}{\sqrt{k_3}}\right)^{2}} resulta
\Delta H = Q^{2}\left(k_1 + \frac{1}{\Big(\dfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\dfrac{1}{\sqrt{k_3}}\Big)^{2}}\right).
Assim
Q = \sqrt{\frac{\Delta H}{\,k_1 + \dfrac{1}{\left(\tfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\tfrac{1}{\sqrt{k_3}}\right)^{2}}\,}}.

Passo 3

Aplicação prática — parte (a): cálculo dos k_i para os dois trechos em série.
Usamos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} e f=0{,}020.
Para cada trecho a constante
k=\frac{8fL}{\pi^{2}gD^{5}}.
Calcule D_1^{5} e D_2^{5}:
D_1^{5} = (0{,}400)^{5} = 0{,}01024, \qquad D_2^{5} = (0{,}300)^{5} = 0{,}00243.
Agora k_1 e k_2:
k_1 = \frac{8\cdot 0{,}020\cdot 1000}{\pi^{2}\cdot 9{,}81\cdot 0{,}01024}, \qquad k_2 = \frac{8\cdot 0{,}020\cdot 800}{\pi^{2}\cdot 9{,}81\cdot 0{,}00243}.
Faço as contas passo a passo (valores aproximados com 5 dígitos relevantes):
  • Primeiro calcule \pi^{2}g \approx 9{,}8696\times 9{,}81 = 96{,}8208.
  • Para k_1:
\text{numerador}=8\cdot 0{,}020\cdot 1000 = 160, \qquad \text{denominador}=96{,}8208\cdot 0{,}01024 \approx 0{,}99149,
k_1 \approx \frac{160}{0{,}99149} \approx 161{,}38.
  • Para k_2:
\text{numerador}=8\cdot 0{,}020\cdot 800 = 128, \qquad \text{denominador}=96{,}8208\cdot 0{,}00243 \approx 0{,}23537,
k_2 \approx \frac{128}{0{,}23537} \approx 543{,}87.

Passo 4

Cálculo da vazão no caso (a) — os dois trechos em série.
Como explicado, para série
\Delta H = (k_1+k_2)Q^{2}\quad\Rightarrow\quad Q = \sqrt{\frac{\Delta H}{k_1+k_2}}.
Substituindo \Delta H=15\\ \mathrm{m} e os k calculados:
k_1+k_2 \approx 161{,}38 + 543{,}87 = 705{,}25.
Q = \sqrt{\frac{15}{705{,}25}} = \sqrt{0{,}021274} \approx 0{,}14584\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Arredondando razoavelmente obtemos
Q \approx 0{,}146\\ \mathrm{m^{3}/s},
que confere com a resposta de referência.

Passo 5

Comentário prático e verificação (a): a ordem de grandeza faz sentido — diâmetro menor no segundo trecho causa perda muito maior (k_2 maior), limitando a vazão. Se quiser, na prova pode apresentar os passos essenciais: escrever a expressão geral h_f=\dfrac{8fL}{\pi^{2}g}\dfrac{Q^{2}}{D^{5}}, somar as perdas e isolar Q. Agora vamos para a parte (b).

Passo 6

Parte (b): configuração com o trecho 1 em série e os trechos 2 e 3 em paralelo. Vou calcular k_3 para o novo tubo em paralelo:
Primeiro calcule D_3^{5}:
D_3^{5} = (0{,}250)^{5} = 0{,}0009765625.
Agora
k_3 = \frac{8\cdot 0{,}020\cdot 900}{\pi^{2}\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0009765625}.
Usando \pi^{2}g \approx 96{,}8208:
\text{numerador}=8\cdot 0{,}020\cdot 900 = 144, \qquad \text{denominador}=96{,}8208\cdot 0{,}0009765625 \approx 0{,}094614,
k_3 \approx \frac{144}{0{,}094614} \approx 1521{,}96.

Passo 7

Agora trato o paralelo 2‖3. Para cada ramo i temos h_{fi}=k_i Q_i^{2}. Assim Q_i = \dfrac{\sqrt{H_{\text{ramo}}}}{\sqrt{k_i}} e a vazão total no paralelo é
Q_{p} = \sqrt{H_{\text{ramo}}}\left(\frac{1}{\sqrt{k_2}}+\frac{1}{\sqrt{k_3}}\right).
Invertendo,
H_{\text{ramo}} = \frac{Q_{p}^{2}}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\dfrac{1}{\sqrt{k_3}}\right)^{2}}.
A perda total do sistema (trecho 1 em série com o paralelo) é
\Delta H = k_1 Q^{2} + H_{\text{ramo}}(Q) = Q^{2}\left(k_1 + \frac{1}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\dfrac{1}{\sqrt{k_3}}\right)^{2}}\right).
Logo
Q = \sqrt{\frac{\Delta H}{\,k_1 + \dfrac{1}{\left(\tfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\tfrac{1}{\sqrt{k_3}}\right)^{2}}\,}}.
Calcule os termos numéricos:
  • \sqrt{k_2} \approx \sqrt{543{,}87} \approx 23{,}311, então \dfrac{1}{\sqrt{k_2}} \approx 0{,}04290.
  • \sqrt{k_3} \approx \sqrt{1521{,}96} \approx 39{,}019, então \dfrac{1}{\sqrt{k_3}} \approx 0{,}02562.
  • Soma: \dfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\dfrac{1}{\sqrt{k_3}} \approx 0{,}04290 + 0{,}02562 = 0{,}06852.
  • Quadrado da soma: (0{,}06852)^{2} \approx 0{,}004695.
  • Portanto 1/\big(\tfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\tfrac{1}{\sqrt{k_3}}\big)^{2} \approx 1/0{,}004695 \approx 213{,}00.
Lembrando k_1 \approx 161{,}38, então o coeficiente total é
k_1 + \frac{1}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\dfrac{1}{\sqrt{k_3}}\right)^{2}} \approx 161{,}38 + 213{,}00 = 374{,}38.
Finalmente
Q = \sqrt{\frac{15}{374{,}38}} = \sqrt{0{,}040054} \approx 0{,}20013\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 8

Verificação extra (opcional mas útil na prova): calcular as vazões individuais no paralelo para conferir divisão.
  • \sqrt{H_{\text{ramo}}} = \dfrac{Q}{\tfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\tfrac{1}{\sqrt{k_3}}} \approx \dfrac{0{,}20013}{0{,}06852} \approx 2{,}922.
Então
Q_2 = \frac{\sqrt{H_{\text{ramo}}}}{\sqrt{k_2}} \approx \frac{2{,}922}{23{,}311} \approx 0{,}1254\\ \mathrm{m^{3}/s},
Q_3 = \frac{\sqrt{H_{\text{ramo}}}}{\sqrt{k_3}} \approx \frac{2{,}922}{39{,}019} \approx 0{,}0747\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Soma Q_2+Q_3 \approx 0{,}1254+0{,}0747 = 0{,}2001\\ \mathrm{m^{3}/s}, conferindo o total calculado.

Resposta

Q=0,146\\ \mathrm{m^{3}/s}\n
Q=0,2001\\ \mathrm{m^{3}/s}

Exercícios relacionados