Uma adutora interliga dois reservatórios cuja diferença de níveis é de 15 m . Esta adutora é composta por dois trechos ligados em série, sendo o primeiro de 1000 m de extensão e diâmetro de 400 mm e o outro de 800 m de comprimento e 300 mm de diâmetro, ambos os trechos com o coeficiente \mathrm{f}=0,020. Desconsiderando as perdas localizadas. Pede-se: (condutos equivalentes)
a) A vazão escoada. \mathbf{R E S P O S T A} : \left[\mathbf{Q}=\mathbf{0 , 1 4 6} \mathbf{~ m}^{\mathbf{3}} / \mathbf{s}\right]
b) Calcular a nova vazão se for instalada, paralelamente ao trecho 2 uma tubulação de 900 m de comprimento, 250 mm de diâmetro e com o mesmo coeficiente de perda de carga (f=0,020). RESPOSTA: \left[\mathbf{Q}=\mathbf{0 , 2 0 0 1} \mathbf{~ m}^{\mathbf{3}} / \mathbf{s}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma adutora entre dois reservatórios com diferença de cotas 15\\ \mathrm{m}. A adutora tem dois trechos em série:
Desconsideram-se perdas localizadas. Pergunta (a): calcular a vazão Q escoada no conjunto (condutos equivalentes). Resposta dada de referência: Q=0{,}146\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Na parte (b) instala-se em paralelo ao trecho 2 uma tubulação nova:
Trecho 3 (paralelo a 2): L_3=900\\ \mathrm{m}, D_3=0{,}250\\ \mathrm{m}, f=0{,}020.
Pergunta (b): calcular a nova vazão total Q do sistema com o paralelo. Resposta de referência: Q=0{,}2001\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Abaixo vou explicar toda a teoria necessária (fórmulas, significado das variáveis) e resolver passo a passo para chegar aos números finais.
Passo 2
Teoria básica e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo).
Perda de carga por atrito — fórmula de Darcy–Weisbach: para um trecho de comprimento L e diâmetro D,
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde
h_f é a perda de carga (em metros de coluna d’água),
f é o coeficiente de atrito (adimensional),
L é o comprimento do trecho (m),
D é o diâmetro interno (m),
V é a velocidade média do fluido no trecho (m/s),
g é a aceleração da gravidade (use g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Relação entre vazão Q e velocidade V: a vazão volumétrica é Q = A V, com área A = \pi D^{2}/4. Assim,
V = \frac{4Q}{\pi D^{2}}.
Substituindo V em h_f obtemos uma relação direta h_f em função de Q: colocando V^{2} = \dfrac{16Q^{2}}{\pi^{2}D^{4}} em Darcy–Weisbach,
Assim cada trecho tem sua constante k tal que perda é proporcional a Q^{2}.
Configurações em série e em paralelo:
Série: as perdas se somam e a vazão é a mesma nos trechos em série. Logo para dois trechos em série
\Delta H = h_{f1}+h_{f2} = k_1 Q^{2}+k_2 Q^{2} = \left(k_1+k_2\right)Q^{2},
portanto
Q = \sqrt{\frac{\Delta H}{k_1+k_2}}.
Paralelo: os dois ramos têm a mesma perda de carga H_{\text{ramo}}, mas vazões diferentes Q_2, Q_3; cada ramo satisfaz H_{\text{ramo}} = k_2 Q_2^{2} e H_{\text{ramo}} = k_3 Q_3^{2}. Assim
Para um circuito série-paral (trecho 1 em série seguido pelo paralelo 2‖3), a perda total é
\Delta H = h_{f1}(Q)+H_{\text{ramo}}(Q),
onde Q é a vazão total que passa pelo trecho 1 e se divide no paralelo. Substituindo h_{f1}=k_1Q^{2} e H_{\text{ramo}}=\dfrac{Q^{2}}{\left(\tfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\tfrac{1}{\sqrt{k_3}}\right)^{2}} resulta
\Delta H = Q^{2}\left(k_1 + \frac{1}{\Big(\dfrac{1}{\sqrt{k_2}}+\dfrac{1}{\sqrt{k_3}}\Big)^{2}}\right).
Comentário prático e verificação (a): a ordem de grandeza faz sentido — diâmetro menor no segundo trecho causa perda muito maior (k_2 maior), limitando a vazão. Se quiser, na prova pode apresentar os passos essenciais: escrever a expressão geral h_f=\dfrac{8fL}{\pi^{2}g}\dfrac{Q^{2}}{D^{5}}, somar as perdas e isolar Q. Agora vamos para a parte (b).
Passo 6
Parte (b): configuração com o trecho 1 em série e os trechos 2 e 3 em paralelo. Vou calcular k_3 para o novo tubo em paralelo:
Agora trato o paralelo 2‖3. Para cada ramo i temos h_{fi}=k_i Q_i^{2}. Assim Q_i = \dfrac{\sqrt{H_{\text{ramo}}}}{\sqrt{k_i}} e a vazão total no paralelo é