Determinação da Transformada de Laplace (TL). Determinar as transformadas de Laplace das funções f(t) a seguir, sendo t \geq 0.
Lembrando que a TL é definida por:
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t) d t=\lim _{A \rightarrow \infty} \int_{0}^{A} e^{-s t} f(t) d t
f(t)=e^{-3 t}

Passo 1

Enunciado: calcular a transformada de Laplace de f(t)=e^{-3t} para t\ge 0.
Informações dadas:
  • A definição da transformada de Laplace:
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt=\lim_{A\to\infty}\int_{0}^{A} e^{-s t} f(t)\,dt.
  • A função é f(t)=e^{-3t} para t\ge 0.
  • A variável de Laplace é s (podendo ser complexa); precisaremos indicar a região de convergência em s.

Passo 2

Escrevemos a integral que define F(s) substituindo f(t):
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{-3t}\,dt.
Aqui só substituímos a função dada na definição. Repare que os dois exponenciais multiplicam-se.

Passo 3

Juntamos os expoentes, usando a propriedade e^{a}e^{b}=e^{a+b}:
e^{-s t} e^{-3t}=e^{-(s+3)t}.
É conveniente definir a:=s+3, assim a integral fica \int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt. Vou explicar por que isso é útil: conhecemos a integral da exponencial decrescente quando a parte real de a é positiva — só nesse caso a função e^{-a t} tende a zero quando t\to\infty e a integral converge.

Passo 4

Calculemos a integral truncada até A e depois faremos A\to\infty:
\int_{0}^{A} e^{-a t}\,dt = \left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\right]_{t=0}^{t=A} = -\frac{1}{a}e^{-a A} + \frac{1}{a}.
Detalhe didático: a antiderivada de e^{-a t} em relação a t é -\dfrac{1}{a}e^{-a t}, pois ao derivar -\dfrac{1}{a}e^{-a t} obtemos e^{-a t} (multiplicando pelo fator -a cancela o -1/a).

Passo 5

Agora tomamos o limite A\to\infty. Para que e^{-a A} vá a zero precisamos de \Re(a)>0. Lembrando a=s+3, isso equivale a \Re(s+3)>0 ou seja \Re(s)>-3. Assumindo essa condição:
\lim_{A\to\infty}\left(-\frac{1}{a}e^{-a A} + \frac{1}{a}\right)=0+\frac{1}{a}=\frac{1}{a}.
Voltando à notação em s, obtemos
F(s)=\frac{1}{s+3},
válido quando \Re(s)>-3. Para o caso usual em que s é real, a condição fica s>-3.

Passo 6

Verificação rápida (checagem): se escolhermos s=0 (que satisfaz 0>-3), então
F(0)=\frac{1}{0+3}=\frac{1}{3},
e isso coincide com \int_{0}^{\infty} e^{-3t}\,dt = 1/3. Bom sinal de que o resultado está coerente.

Resposta

F(s)=\frac{1}{s+3},\quad \Re(s)>-3

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