Determinação da Transformada de Laplace (TL). Determinar as transformadas de Laplace das funções
a seguir, sendo
.
Lembrando que a TL é definida por:
Passo 1
Enunciado: calcular a transformada de Laplace de
para
.
Informações dadas:
- A definição da transformada de Laplace:
- A função é
para . - A variável de Laplace é
(podendo ser complexa); precisaremos indicar a região de convergência em .
Passo 2
Escrevemos a integral que define
substituindo
:
Aqui só substituímos a função dada na definição. Repare que os dois exponenciais multiplicam-se.
Passo 3
Juntamos os expoentes, usando a propriedade
:
É conveniente definir
, assim a integral fica
. Vou explicar por que isso é útil: conhecemos a integral da exponencial decrescente quando a parte real de
é positiva — só nesse caso a função
tende a zero quando
e a integral converge.
Passo 4
Calculemos a integral truncada até
e depois faremos
:
Detalhe didático: a antiderivada de
em relação a
é
, pois ao derivar
obtemos
(multiplicando pelo fator
cancela o
).
Passo 5
Agora tomamos o limite
. Para que
vá a zero precisamos de
. Lembrando
, isso equivale a
ou seja
. Assumindo essa condição:
Voltando à notação em
, obtemos
válido quando
. Para o caso usual em que
é real, a condição fica
.
Passo 6
Verificação rápida (checagem): se escolhermos
(que satisfaz
), então
e isso coincide com
. Bom sinal de que o resultado está coerente.