Hint: Consider the possibility of adding the solutions of two problems, one with homogeneous boundary conditions except for u(a, y)=f(y), and the other with homogeneous boundary conditions except for u(x, 0)=h(x).
(b) Find the solution if h(x)=(x / a)^{2} and f(y)=1-(y / b).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função u(x,y) que satisfaz a equação de Laplace e as condições de contorno no retângulo 0<x<a,\;0<y<b. Mais precisamente:
Equação a resolver: \Delta u = 0 em 0<x<a,\;0<y<b.
Condições de contorno dadas:u(0,y)=0,\qquad u(a,y)=f(y),\qquad 0<y<b,
u(x,0)=h(x),\qquad u(x,b)=0,\qquad 0\le x\le a.
Perguntas:
(a) Determinar u(x,y) em termos das funções de contorno f(y) e h(x).
(b) Fazer o caso específico h(x)=(x/a)^{2} e f(y)=1-(y/b).
Informações úteis extraídas do enunciado:
O domínio é um retângulo com lados x=0, x=a, y=0, y=b.
As condições em três lados são homogêneas (zero) e há não-homogeneidade em dois lados opostos: u(a,y)=f(y) e u(x,0)=h(x).
O enunciado sugere usar superposição (somar duas soluções, cada uma com apenas uma borda não-homogênea).
Passo 2
Ideia principal (por que dá para fazer isso): a equação de Laplace é linear. Logo, se u_1 e u_2 satisfazem \Delta u_1=0 e \Delta u_2=0, então u=u_1+u_2 também satisfaz \Delta u=0. Vamos decompor o problema em dois problemas mais simples:
As condições em y são Y(0)=0 e Y(b)=0. Para termos soluções não-triviais precisamos de \lambda=\left(\dfrac{n\pi}{b}\right)^2 com n=1,2,\dots. Os autofunções são
Y_n(y)=\sin\!\left(\dfrac{n\pi y}{b}\right).
Para cada n a equação em x é
X_n''(x)-\left(\dfrac{n\pi}{b}\right)^2 X_n(x)=0,
cuja solução geral é combinação de e^{\pm n\pi x/b} ou, mais conveniente, \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}. Impondo X_n(0)=0 (porque u_1(0,y)=0 para todo y) elimina o termo \operatorname{cosh} e deixa
Ou seja, os coeficientes da série de senos de f são A_n=C_n\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{n\pi a}{b}\right). Os coeficientes A_n obtêm-se pela fórmula da série de Fourier seno em [0,b]:
Comentário prático para prova: para determinar u_1 você faz a expansão de f em senos em y, e para cada modo n a dependência em x é \operatorname{sinh}((n\pi/b)x) ajustada por \operatorname{sinh}((n\pi/b)a) para coincidir com f em x=a.
Passo 4
Resolvendo o Problema II (não-homogeneidade em y=0, zeros nas demais bordas).
Agora as condições em x são u_2(0,y)=0 e u_2(a,y)=0. Assim, ao separar u_2(x,y)=X(x)Y(y) escolhemos autofunções em x do tipo seno:
cuja solução geral é combinação de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}. Impomos Y_m(b)=0. Uma forma conveniente de escrever a solução que vale Y_m(b)=0 é
Dica prática: para u_2 você expande h(x) em senos em x; cada modo m decai em y como \operatorname{sinh}\!\big(\frac{m\pi(b-y)}{a}\big)/\operatorname{sinh}\!\big(\frac{m\pi b}{a}\big), que é 1 em y=0 e 0 em y=b.
Passo 5
Somando as duas soluções (superposição) obtemos a solução geral do problema original:
Substituindo \beta=\dfrac{m\pi}{a} (logo \dfrac{1}{\beta}=\dfrac{a}{m\pi}, \dfrac{1}{\beta^3}=\dfrac{a^3}{m^3\pi^3}) e multiplicando por \dfrac{2}{a^3} para obter B_m:
Observação prática: para m par ((-1)^m=1) este B_m reduz a B_m=-\dfrac{2}{m\pi}. Para m ímpar ((-1)^m=-1) fica B_m=\dfrac{2}{m\pi}-\dfrac{8}{m^3\pi^3}.
Passo 8
Substituímos os coeficientes calculados em u_1 e u_2 e somamos para obter a solução do item (b).
De (Passo 6) temos A_n=\dfrac{2}{n\pi}. De (Passo 7) temos B_m dado acima. Assim:
Isto é a solução para h(x)=(x/a)^2 e f(y)=1-y/b. Cada série converge razoavelmente rápido; em prova você pode parar nas formas dos coeficientes. Se quiser, para escrever mais concisamente, pode renomear índices e combinar símbolos, mas a forma acima deixa explícito o papel de cada termo.