Find the solution u(r, \theta) of Laplace’s equation
u_{r r}+(1 / r) u_{r}+\left(1 / r^{2}\right) u_{\theta \theta}=0
outside the circle r=a, also satisfying the boundary condition
u(a, \theta)=f(\theta), \quad 0 \leq \theta<2 \pi
on the circle. Assume that u(r, \theta) is single-valued and bounded for r>a.

Passo 1

O enunciado pede a solução u(r,\theta) da equação de Laplace em coordenadas polares
u_{r r}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=0
no exterior do círculo r=a, sujeita à condição de contorno na borda
u(a,\theta)=f(\theta),\qquad 0\le\theta<2\pi,
e que u(r,\theta) seja única (single‑valued) e limitada (bounded) para r>a.
Informações dadas e perguntas claras:
  • A equação diferencial é a equação de Laplace em coordenadas polares.
  • O domínio é exterior ao círculo de raio a (temos o contorno r=a).
  • A condição de contorno é u(a,\theta)=f(\theta).
  • A solução deve ser single‑valued (periódica em \theta com período 2\pi) e limitada para r>a.
  • O que se pede: encontrar explicitamente u(r,\theta) em termos de f(\theta).

Passo 2

Ideia de resolução (separação de variáveis): suponha uma solução na forma separada
u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta).
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por R\Theta obtemos
\frac{r^{2}R''+rR'}{R} + \frac{\Theta''}{\Theta}=0.
Isso pode ser reescrito como
\frac{\Theta''}{\Theta} = -\lambda,\qquad \frac{r^{2}R''+rR'}{R}=\lambda,
onde \lambda é constante de separação. Agora tratamos as equações separadas.

Passo 3

Equação angular: \Theta''+\lambda\Theta=0. Como u é single‑valued e 2\pi-periódica em \theta, procuramos soluções periódicas; isso força \lambda=n^{2} com n=0,1,2,\dots. As soluções angulares são:
\Theta(\theta)= \begin{cases} \text{const}, & n=0,\\[4pt] \cos n\theta,\\ \sin n\theta, & n\ge1. \end{cases}]

Passo 4

Equação radial para cada n: com \lambda=n^{2} obtemos a equação de Euler
r^{2}R''+rR'-n^{2}R=0.
Esta equação tem solução geral
R(r)=C_{1}r^{n}+C_{2}r^{-n},\qquad n\ge1.
No caso n=0 a equação radial é r^{2}R''+rR'=0, cuja solução geral é
R(r)=C_{0}+D_{0}\ln r.

Passo 5

Impondo as condições físicas do problema (domínio exterior r\ge a e solução limitada quando r\to\infty):
  • Para n\ge1 o termo r^{n} cresce sem limite quando r\to\infty, então devemos ter C_{1}=0 para garantir que u seja limitada. Permanecem apenas termos r^{-n}.
  • Para n=0 o termo \ln r cresce sem limite quando r\to\infty, então devemos ter D_{0}=0. Resta apenas a constante C_{0} para a parte n=0.
Portanto a forma geral da solução limitada no exterior é
u(r,\theta)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( C_{n}r^{-n}\cos n\theta + D_{n}r^{-n}\sin n\theta\right),
onde A_{0},C_{n},D_{n} são constantes a determinar a partir do contorno em r=a.

Passo 6

Expandir f(\theta) em série de Fourier (esta é a ferramenta que permite determinar as constantes pelo contorno). Escrevemos
f(\theta)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos n\theta + b_{n}\sin n\theta\bigr),
com os coeficientes dados por
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\,d\theta,
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\cos n\theta\,d\theta,\qquad n\ge1,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\sin n\theta\,d\theta,\qquad n\ge1.
Observação: essa série converge (em sentido apropriado) para f dado razoavelmente (por exemplo f\in L^{2} ou contínuo); aqui assumimos que o enunciado permite expandir f dessa forma.

Passo 7

Aplicar a condição de contorno u(a,\theta)=f(\theta). Usando a forma geral de u em r=a obtemos
u(a,\theta)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( C_{n}a^{-n}\cos n\theta + D_{n}a^{-n}\sin n\theta\right)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos n\theta + b_{n}\sin n\theta\bigr).
Igualando coeficientes de \cos n\theta, \sin n\theta e termo constante, vem
A_{0}=\frac{a_{0}}{2},\qquad C_{n}a^{-n}=a_{n},\qquad D_{n}a^{-n}=b_{n}\quad (n\ge1).
Logo
C_{n}=a_{n}a^{n},\qquad D_{n}=b_{n}a^{n}.

Passo 8

Substituindo os valores de C_{n},D_{n} na solução geral obtemos a solução explícita válida para r\ge a:
u(r,\theta)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\left(\frac{a}{r}\right)^{n}\cos n\theta + b_{n}\left(\frac{a}{r}\right)^{n}\sin n\theta\right),
onde a_{0},a_{n},b_{n} são os coeficientes de Fourier de f(\theta) dados no Passo 6.

Passo 9

Breve comentário de garantia: a solução obtida satisfaz a equação de Laplace por construção (cada termo é harmônico), satisfaz o contorno em r=a por escolha dos coeficientes e é limitada para r\to\infty (os termos com r^{-n} decaem e o termo constante permanece). A unicidade segue do princípio do máximo para soluções harmônicas num domínio exterior com condição de limite (mas não precisamos desenvolver essa prova aqui).

Resposta

u(r,\theta)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\left(\frac{a}{r}\right)^{n}\cos n\theta + b_{n}\left(\frac{a}{r}\right)^{n}\sin n\theta\right),\quad r\ge a,
onde
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\,d\theta,\qquad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\cos n\theta\,d\theta,\qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\theta)\sin n\theta\,d\theta.

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