onde \lambda é constante de separação. Agora tratamos as equações separadas.
Passo 3
Equação angular: \Theta''+\lambda\Theta=0. Como u é single‑valued e 2\pi-periódica em \theta, procuramos soluções periódicas; isso força \lambda=n^{2} com n=0,1,2,\dots. As soluções angulares são:
Equação radial para cada n: com \lambda=n^{2} obtemos a equação de Euler
r^{2}R''+rR'-n^{2}R=0.
Esta equação tem solução geral
R(r)=C_{1}r^{n}+C_{2}r^{-n},\qquad n\ge1.
No caso n=0 a equação radial é r^{2}R''+rR'=0, cuja solução geral é
R(r)=C_{0}+D_{0}\ln r.
Passo 5
Impondo as condições físicas do problema (domínio exterior r\ge a e solução limitada quando r\to\infty):
Para n\ge1 o termo r^{n} cresce sem limite quando r\to\infty, então devemos ter C_{1}=0 para garantir que u seja limitada. Permanecem apenas termos r^{-n}.
Para n=0 o termo \ln r cresce sem limite quando r\to\infty, então devemos ter D_{0}=0. Resta apenas a constante C_{0} para a parte n=0.
Portanto a forma geral da solução limitada no exterior é
Observação: essa série converge (em sentido apropriado) para f dado razoavelmente (por exemplo f\in L^{2} ou contínuo); aqui assumimos que o enunciado permite expandir f dessa forma.
Passo 7
Aplicar a condição de contorno u(a,\theta)=f(\theta). Usando a forma geral de u em r=a obtemos
onde a_{0},a_{n},b_{n} são os coeficientes de Fourier de f(\theta) dados no Passo 6.
Passo 9
Breve comentário de garantia: a solução obtida satisfaz a equação de Laplace por construção (cada termo é harmônico), satisfaz o contorno em r=a por escolha dos coeficientes e é limitada para r\to\infty (os termos com r^{-n} decaem e o termo constante permanece). A unicidade segue do princípio do máximo para soluções harmônicas num domínio exterior com condição de limite (mas não precisamos desenvolver essa prova aqui).
Resposta
u(r,\theta)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\left(\frac{a}{r}\right)^{n}\cos n\theta + b_{n}\left(\frac{a}{r}\right)^{n}\sin n\theta\right),\quad r\ge a,